Feria Internacional del Libro 2015

Por estos días se viene realizando la 20^a edición de la Feria Internacional del Libro de Lima (FILL). Como todos los años suelo visitar la feria por lo menos dos veces. Siempre es grato y relajado pasearse por los diversos stands, darle una mirada a los distintos títulos que exhiben y aprovechar las ofertas que se nos ofrece. Como es de esperarse la mayor oferta de libros está en el campo de la literatura entre novelas y cuentos. También encontramos gran cantidad de libros de autoayuda, liderazgo, temas de salud y para niños. Un poco más escasos son los títulos de diferentes especialidades como Derecho, Marketing, Economía, Psicología, Política y Cine, entre otras. Aunque no se limitan solo a eso, como se podrá imaginar mis búsquedas van por el lado de libros asociados con las matemáticas y, en esta área, lastimosamente es muy poco lo que se puede encontrar. No me refiero a libros de ejercicios o problemas, de este tipo tenemos al menos dos stands relacionado con lo preuniversitario, sino a libros que permitan a los docentes conocer más acerca del área matemática. Considero que en cuanto a la educación básica o universitaria se refiere, el docente de matemáticas no solo debe saber la teoría y práctica de los temas a tratar sino también su historia, aplicaciones, importancia y relaciones con otras áreas. Además de los diferentes enfoques educativos, las últimas tendencias y las diversas formas de abordar los contenidos atendiendo los diferentes estilos de aprendizaje y los medios tecnológicos que se tienen a la mano. Sobre esto hay poco y lo que hay o bien es repetitivo (de ferias anteriores) o bien es caro. 

Si la oferta de libros internacionales de contenidos matemáticos es limitada, la oferta de libros de contenidos matemáticos de autores nacionales es prácticamente nula. Si bien en nuestro país existe una gran oferta de libros y folletos de matemáticas orientado al sector preuniversitario no son estos los contenidos que demandamos. Esta oferta preuniversitaria se debe en gran medida al papel que jugaron las academias como puente del colegio a la universidad. Si bien hoy en día aún algunas academias siguen cumpliendo esta misión fue en las décadas de los 80´s y 90´s donde el poco número de universidades así como la dificultad de los exámenes de ingreso a las mismas, sobre todo las nacionales, posibilitó la elaboración de materiales y separatas de clase. Estas producciones fueron luego recopiladas, corregidas, aumentadas y en general mejoradas para convertirse en un libro. Así tenemos, entre las más destacadas y numerosas, las publicaciones de Lumbreras que edita los materiales de las academias César Vallejo y Aduni. En Lima tenemos lugares como las librerías en las cercanías de la UNI y San Marcos, el jirón Quilca y la popular feria permanente del jirón Amazonas donde podemos encontrar títulos preuniversitarios de matemáticas de Lumbreras, otras academias y centros preuniversitarios así como de profesores que en un esfuerzo, muchas veces individual, nos han hecho llegar sus producciones. Se trata de diferentes propuestas, estilos, calidades y precios que permiten a un estudiante o docente interesado escoger entre una variedad de libros preuniversitarios. Insistimos en que estos no son los contenidos matemáticos a los que hacemos referencia y que consideramos de interés docente.

En tanto hay una demanda por la preparación preuniversitaria resulta natural que esta haya motivado la producción de publicaciones preuniversitarias nacionales orientadas a estudiantes. No parece ocurrir lo mismo con publicaciones nacionales de contenidos matemáticos orientados a docentes. Se pueden señalar diferentes hipótesis del porque nos encontramos en este estado. No entraremos en describir las mismas solo mencionaremos que una de ellas se relaciona con no estimular su demanda. Esperemos que en próximas ediciones de la FILL podamos encontrar una oferta creciente y variada de publicaciones nacionales e internacionales de contenidos matemáticos de interés docente.

Calculadoras y aplicaciones en la clase de matemática ¿por qué no?

Hace poco participé como invitado a un taller acerca del uso de la calculadora en las clases de matemática. Me resultó muy grato este encuentro debido a que en el 2008, y después de un año que me tomó escribirlo, se publicó mi libro “Matemática y pensamiento crítico. Una aplicación a la Trigonometría” donde dediqué un capítulo al uso de la calculadora y mencionaba muchas de las cosas que señalaron los panelistas durante el taller. Han pasado 15 años desde entonces y aún hoy encontramos docentes de instituciones educativas, muchos de ellos del nivel superior, resistentes a permitir su uso en las clases de matemáticas.

Uno de los argumentos más citados en contra de su uso es que la calculadora reduce la adquisición de destreza en las operaciones básicas. Quienes, como yo, estamos a favor del uso de la calculadora pensamos en esta herramienta como un complemento y no como un sustituto. En los primeros grados debe trabajarse la destreza de realizar cálculos básicos con lápiz y papel. Se debe aprender los algoritmos de las operaciones elementales, ganar seguridad y rapidez en su aplicación, ejercitar el cálculo mental, validar sus resultados y comprender el significado de los mismos. Hay quienes señalan que operaciones con números de hasta dos cifras deben hacerse con lápiz y papel, pero para números más grandes deben usarse las calculadoras. Incorporar el uso de las calculadoras en el aula debe reservarse para cuando esto se haya logrado. Introducimos la calculadora buscando que el estudiante entienda las matemáticas mejor, no peor. Con ello buscamos trabajar otras capacidades evitando la sobrecarga en operaciones básicas. El uso de la calculadora disminuye el tiempo dedicado a los cálculos y proporciona a los estudiantes y docentes más tiempo para concentrar el esfuerzo y la atención en la comprensión de conceptos, elaboración de estrategias y discusión de argumentos. Cuando las calculadoras son usadas apropiadamente mejoran el aprendizaje de las matemáticas y facilitan su comprensión.

El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM), la organización de educación matemática más grande del mundo, declara que las calculadoras  tienen un importante papel en el apoyo y la promoción del aprendizaje de matemáticas elementales. Contrariamente a lo que se piensa las investigaciones han evidenciado que el uso de la calculadora puede promover la adquisición de la destreza en las operaciones. Además de promover el aprendizaje de otras ideas matemáticas y el desarrollo de estrategias no formales que les proporcionan bases más sólidas para sus estudios posteriores en matemáticas. Podemos no estar de acuerdo con el uso de la calculadora en la educación básica, discutir en a partir de qué grado se debe permitir su uso o en qué tipo de ejercicios, actividades o temas pueden ser usadas. Sin embargo considero que en la educación superior universitaria se debe promover su uso en los cursos de matemáticas para ganar velocidad y precisión en los cálculos. Con más tiempo para trabajar en la adquisición de conceptos nuevos y resolución de problemas podemos enfatizar en importantes aspectos como 1) comprender el problema o situación propuesta; 2) hacer conjeturas; 3) identificar las variables e incógnitas involucradas, sus significados y unidades; 4) proponer estrategias de solución y su planteamiento; y 5) la interpretación de los resultados obtenidos.

En mi experiencia docente permitir y promover el uso de la calculadora científica me ha permitido abordar situaciones problemáticas reales y realistas. Tomar los datos tal y como son en la realidad y operar con ellos sin temor alguno aumenta el interés de mis estudiantes por los temas tratados y con ello valorar la importancia que tienen las matemáticas en diferentes situaciones de nuestra vida cotidiana. Estos aspectos contribuyen con la democratización de las matemáticas y a mejorar la actitud hacia las matemáticas. 

Modelos recomendados Casio fx-570 o Casio fx-991

El día del número PI

El pasado 14 de marzo del 2015 se celebró el día de PI. Grupos de todo el mundo realizaron distintas actividades para festejar esta fecha, véase por ejemplo en Twitter #piday2015. Esta fecha anotada en la forma Mes.DíaAño, es decir 3.1415, nos da los primeros números de la secuencia de PI. Más exactamente a las 9 horas, 26 minutos y 53 segundos de ese día se dio el momento en el que los números ordenados según Mes.DíaAñoHoraMinutosSegundos coincidían con los diez primeros números de la secuencia de PI.

3.141592653...

Lo singular radica en que esta coincidencia en la secuencia no volverá a ocurrir sino hasta después de cien años. Puede revisarse el siguiente enlace t.co/Grkwh7qhDF para más datos curiosos acerca de esto. 

Como se sabe PI es un número irracional. Esto es un número decimal infinito no periódico. Con la ayuda de las computadoras se ha podido encontrar PI con más de un millón de decimales. 

En su blog Stephen Wolfram, CEO de Wolfram Research, comparte una entrada Find your PI Day donde ingresando tu fecha de nacimiento podrás encontrar dichos números en algún momento de la secuencia infinita de dígitos de PI. Por ejemplo el mío apareció después de 7702 dígitos. Anímate a encontrar el tuyo.

Álgebra de límites

En esta entrada compartimos las demostraciones de las principales reglas del álgebra de límites de funciones de una variable.

Pueden descargar el documento AQUÍ

Series trigonométricas

La matemática es una ciencia deductiva. A partir de la definición de un objeto matemático podemos deducir algunas de sus propiedades. En la Trigonometría, una de las ramas de las matemáticas elementales, el concepto de razón trigonométrica es uno de los fundamentales. Razones trigonométricas (RT) como el seno, coseno y tangente relacionan los lados y ángulos de un triángulo plano lo que permitió al hombre hacer medidas indirectas como calcular la altura de una montaña o la distancia entre dos ciudades. Las RT posibilitan un conjunto de identidades trigonométricas, fundamentales y derivadas, entre las que se incluyen las relacionadas con sumatorias. 
Así tenemos que partiendo de la definición del seno y coseno de un ángulo (simple) podemos desprender una identidad para el seno y coseno de la suma o resta de dos ángulos (compuesto). A partir de las identidades del ángulo compuesto podemos transformar el producto de senos y/o cosenos en la suma o resta de senos y cosenos. Esto permite deducir una fórmula para la suma de senos y cosenos de ángulos que siguen una progresión aritmética. 
Compartimos un documento donde, a partir de las fórmulas de transformación de producto a suma/diferencia, se deducen un conjunto de fórmulas de series trigonométricas.
Ver documento AQUI 

Acerca de las demostraciones en matemáticas

Razonamiento y demostración es una de las capacidades matemáticas fundamentales del Diseño Curricular de la Educación Básica. Demostración es un razonamiento mediante el cual se establece la verdad de una proposición. Esencialmente demostrar consiste en probar. Por lo que demostrar la verdad de una proposición matemática significa probar, usando el razonamiento, que lo que dice la proposición matemática es verdadero. La matemática se construye a partir de definiciones y axiomas. Las primeras definen los objetos matemáticos y las segundas son enunciados cuya verdad admitimos sin necesidad de demostración. Las definiciones permiten describir propiedades del objeto matemático. Así, bajo el marco de los axiomas que rigen diferentes objetos matemáticos, la combinación de sus propiedades permite enunciar un conjunto de proposiciones matemáticas. Estas proposiciones pueden ser presentadas como propiedades, lemas, teoremas o corolarios.

Demostrar la verdad de una proposición matemática supone el uso de definiciones y otras proposiciones relacionadas presentadas anteriormente. Pero también supone hacer explícitos un conjunto de pasos que, debidamente justificados, permitan mostrar la verdad de la proposición matemática. Lo fundamental en la demostración es la forma como justificamos los pasos que seguimos al demostrar. Justificamos 1) citando definiciones y/o proposiciones matemáticas previas; 2) al obtener consecuencias lógicas de la aplicación de las proposiciones previas sobre lo definido; 3) al desprender expresiones equivalentes al aplicar una fórmula o identidad. Distintas taxonomías del dominio de la matemática consideran la actividad cognitiva de demostrar como perteneciente a los niveles superiores. Por tanto desarrollar la capacidad de demostrar supone haber desarrollado otras actividades cognitivas.

No existe un modelo único para demostrar una proposición matemática. Una razón de ello tiene que ver con el nivel que se quiera mostrarla. Aunque se hayan detallado lógicamente, en una demostración Lages (1998) considera admisible usar resultados verdaderos, intuitivamente obvios, que son considerados evidentes por los alumnos. El nivel de rigurosidad empleado en la demostración depende, o debería depender, del nivel de profundidad con que se estudian los objetos matemáticos. Esto, a su vez, depende (o debería depender) de los objetivos educacionales que corresponden a la naturaleza del curso de matemática que se desarrolla. Otra razón es el lenguaje empleado en la demostración. Se puede justificar predominando el uso del lenguaje natural o predominando el uso del lenguaje matemático. Esto depende en gran medida del área matemática que se trate. 

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Teorema del valor intermedio

Teorema del valor intermedio (TVI)

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea N un número estrictamente entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un número c en ]a,b[ tal que f(c)=N.

El teorema del valor intermedio (TVI) afirma que si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y escogemos un número real N comprendido entre los valores de la función en los extremos del intervalo cerrado, es decir entre f(a) y f(b), siempre será posible encontrar en la gráfica de f al menos un punto de coordenadas (c,N) donde c está comprendido entre a y b. 

Si f es continua en [a,b], entonces su gráfica es una curva sin huecos ni saltos. Luego podemos desplazarnos a través de dicha curva desde el punto (a,f(a)) hasta el punto (b,f(b)), sin ninguna interrupción. De aquí que si N es un número comprendido entre f(a) y f(b) la recta y=N corta a la gráfica de f en un punto cuya abscisa c está comprendida entre a y b.

El TVI es un teorema de existencia. Los teoremas de este tipo afirman la existencia de un número siempre que se cumplan determinadas condiciones. Su importancia radica en garantizar la existencia del número aunque no sepamos su valor. 

Si del TVI consideramos el caso en que f(a) es negativo y f(b) es postivo, tenemos que 0 está comprendido entre f(a) y f(b) por lo que podemos afirmar la existencia de un c en ]a,b[ tal que f(c)=0. Esta consecuencia del TVI, conocida como corolario del teorema del valor intermedio, permite afirmar la existencia de raíces o soluciones de la ecuación f(x)=0.
Compartimos algunos ejercicios de aplicación del TVI.

Pueden descargar el documento AQUI