Joseph Louis Lagrange (1736-1813) en una carta remitida a Euler en 1755 dio propuestas para salvar las limitaciones del método (geométrico y analítico-diferencial) propuesto por Euler para resolver problemas difíciles en la época como el de los Isoperímetros.
El método de Lagrange proporciona una condición necesaria para la existencia del extremo (máximo o mínimo) de una función sujeta a una determinada restricción. Así por ejemplo dada la función de dos variables f(x,y) sujeta a g(x,y)=c, si (a,b) es punto extremo de la función Lagrangiana L(l,x,y)=f(x,y)+l[g(x,y)-c] entonces (a,b) es también punto extremo de la función objetivo f(x,y).
La variable l es llamada multiplicador de Lagrange y al punto extremo (a,b) le corresponde un único l.
Dada la función Lagrangiana L(l,x,y) un punto extremo de L debe cumplir necesariamente la condición de que sus derivadas parciales de primer orden sean nulas. Así al resolver el sistema de ecuaciones Ll(l,x,y)=0; Lx(l,x,y)=0; Ly(l,x,y)=0 obtenemos el punto buscado. La primera de estas condiciones resulta en la propia restricción g(x,y)=c por lo que las componentes del punto extremo dependen de la constante c de la restricción.
De aquí que si cambia el valor de la constante c de la restricción, entonces cambia el punto extremo y por tanto cambia el valor extremo M (valor máximo o valor mínimo) de la función f. El multiplicador de Lagrange (l) permite aproximar el cambio del valor extremo de la función objetivo (dM) correspondiente a un cambio de la constante de la restricción (dc).
En el documento adjunto se explica y demuestra esta relación.
