Razonamiento y
demostración es una de las capacidades matemáticas fundamentales del Diseño
Curricular de la Educación Básica. Demostración es un razonamiento mediante el
cual se establece la verdad de una proposición. Esencialmente demostrar consiste
en probar. Por lo que demostrar la verdad de una proposición matemática significa
probar, usando el razonamiento, que lo que dice la proposición matemática es
verdadero. La matemática se construye a partir de definiciones y axiomas. Las
primeras definen los objetos matemáticos y las segundas son enunciados cuya
verdad admitimos sin necesidad de demostración. Las definiciones permiten
describir propiedades del objeto matemático. Así, bajo el marco de los axiomas
que rigen diferentes objetos matemáticos, la combinación de sus propiedades permite
enunciar un conjunto de proposiciones matemáticas. Estas proposiciones pueden
ser presentadas como propiedades, lemas, teoremas o corolarios.
Demostrar la
verdad de una proposición matemática supone el uso de definiciones y otras
proposiciones relacionadas presentadas anteriormente. Pero también supone hacer
explícitos un conjunto de pasos que, debidamente justificados, permitan mostrar
la verdad de la proposición matemática. Lo fundamental en la demostración es la
forma como justificamos los pasos que seguimos al demostrar. Justificamos 1) citando
definiciones y/o proposiciones matemáticas previas; 2) al obtener consecuencias
lógicas de la aplicación de las proposiciones previas sobre lo definido; 3) al
desprender expresiones equivalentes al aplicar una fórmula o identidad. Distintas
taxonomías del dominio de la matemática consideran la actividad cognitiva de
demostrar como perteneciente a los niveles superiores. Por tanto desarrollar la
capacidad de demostrar supone haber desarrollado otras actividades cognitivas.
No existe un modelo
único para demostrar una proposición matemática. Una razón de ello tiene que
ver con el nivel que se quiera mostrarla. Aunque se hayan detallado lógicamente,
en una demostración Lages (1998) considera admisible usar resultados
verdaderos, intuitivamente obvios, que son considerados evidentes por los
alumnos. El nivel de rigurosidad empleado en la demostración depende, o debería
depender, del nivel de profundidad con que se estudian los objetos matemáticos.
Esto, a su vez, depende (o debería depender) de los objetivos educacionales que
corresponden a la naturaleza del curso de matemática que se desarrolla. Otra
razón es el lenguaje empleado en la demostración. Se puede justificar
predominando el uso del lenguaje natural o predominando el uso del lenguaje
matemático. Esto depende en gran medida del área matemática que se trate.
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