domingo, 12 de octubre de 2014

Series trigonométricas

La matemática es una ciencia deductiva. A partir de la definición de un objeto matemático podemos deducir algunas de sus propiedades. En la Trigonometría, una de las ramas de las matemáticas elementales, el concepto de razón trigonométrica es uno de los fundamentales. Razones trigonométricas (RT) como el seno, coseno y tangente relacionan los lados y ángulos de un triángulo plano lo que permitió al hombre hacer medidas indirectas como calcular la altura de una montaña o la distancia entre dos ciudades. Las RT posibilitan un conjunto de identidades trigonométricas, fundamentales y derivadas, entre las que se incluyen las relacionadas con sumatorias. 
Así tenemos que partiendo de la definición del seno y coseno de un ángulo (simple) podemos desprender una identidad para el seno y coseno de la suma o resta de dos ángulos (compuesto). A partir de las identidades del ángulo compuesto podemos transformar el producto de senos y/o cosenos en la suma o resta de senos y cosenos. Esto permite deducir una fórmula para la suma de senos y cosenos de ángulos que siguen una progresión aritmética. 
Compartimos un documento donde, a partir de las fórmulas de transformación de producto a suma/diferencia, se deducen un conjunto de fórmulas de series trigonométricas.
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Acerca de las demostraciones en matemáticas

Razonamiento y demostración es una de las capacidades matemáticas fundamentales del Diseño Curricular de la Educación Básica. Demostración es un razonamiento mediante el cual se establece la verdad de una proposición. Esencialmente demostrar consiste en probar. Por lo que demostrar la verdad de una proposición matemática significa probar, usando el razonamiento, que lo que dice la proposición matemática es verdadero. La matemática se construye a partir de definiciones y axiomas. Las primeras definen los objetos matemáticos y las segundas son enunciados cuya verdad admitimos sin necesidad de demostración. Las definiciones permiten describir propiedades del objeto matemático. Así, bajo el marco de los axiomas que rigen diferentes objetos matemáticos, la combinación de sus propiedades permite enunciar un conjunto de proposiciones matemáticas. Estas proposiciones pueden ser presentadas como propiedades, lemas, teoremas o corolarios.
Demostrar la verdad de una proposición matemática supone el uso de definiciones y otras proposiciones relacionadas presentadas anteriormente. Pero también supone hacer explícitos un conjunto de pasos que, debidamente justificados, permitan mostrar la verdad de la proposición matemática. Lo fundamental en la demostración es la forma como justificamos los pasos que seguimos al demostrar. Justificamos 1) citando definiciones y/o proposiciones matemáticas previas; 2) al obtener consecuencias lógicas de la aplicación de las proposiciones previas sobre lo definido; 3) al desprender expresiones equivalentes al aplicar una fórmula o identidad. Distintas taxonomías del dominio de la matemática consideran la actividad cognitiva de demostrar como perteneciente a los niveles superiores. Por tanto desarrollar la capacidad de demostrar supone haber desarrollado otras actividades cognitivas.

No existe un modelo único para demostrar una proposición matemática. Una razón de ello tiene que ver con el nivel que se quiera mostrarla. Aunque se hayan detallado lógicamente, en una demostración Lages (1998) considera admisible usar resultados verdaderos, intuitivamente obvios, que son considerados evidentes por los alumnos. El nivel de rigurosidad empleado en la demostración depende, o debería depender, del nivel de profundidad con que se estudian los objetos matemáticos. Esto, a su vez, depende (o debería depender) de los objetivos educacionales que corresponden a la naturaleza del curso de matemática que se desarrolla. Otra razón es el lenguaje empleado en la demostración. Se puede justificar predominando el uso del lenguaje natural o predominando el uso del lenguaje matemático. Esto depende en gran medida del área matemática que se trate. 
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Teorema del valor intermedio

Teorema del valor intermedio (TVI)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea N un número estrictamente entre f(a) f(b), entonces existe al menos un número c en ]a,b[ tal que f(c)=N.

El teorema del valor intermedio (TVI) afirma que si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y escogemos un número real N comprendido entre los valores de la función en los extremos del intervalo cerrado, es decir entre f(a) y f(b), siempre será posible encontrar en la gráfica de f al menos un punto de coordenadas (c,N) donde c está comprendido entre a y b
Si f es continua en [a,b], entonces su gráfica es una curva sin huecos ni saltos. Luego podemos desplazarnos a través de dicha curva desde el punto (a,f(a)) hasta el punto (b,f(b)), sin ninguna interrupción. De aquí que si N es un número comprendido entre f(a) y f(b) la recta y=N corta a la gráfica de f en un punto cuya abscisa c está comprendida entre a y b.
El TVI es un teorema de existencia. Los teoremas de este tipo afirman la existencia de un número siempre que se cumplan determinadas condiciones. Su importancia radica en garantizar la existencia del número aunque no sepamos su valor. 
Si del TVI consideramos el caso en que f(a) es negativo y f(b) es postivo, tenemos que 0 está comprendido entre f(a) y f(b) por lo que podemos afirmar la existencia de un c en ]a,b[ tal que f(c)=0. Esta consecuencia del TVI, conocida como corolario del teorema del valor intermedio, permite afirmar la existencia de raíces o soluciones de la ecuación f(x)=0.
Compartimos algunos ejercicios de aplicación del TVI.
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Monotonía de una sucesión

Como sabemos una sucesión es un conjunto de números reales escritos en un orden definido. Así toda sucesión tiene un primer término, un segundo término, un tercer término, etc. De este modo a cada número natural "n" le corresponde un único número real llamado "término de lugar n" o "término enésimo" de la sucesión. Debido a esto las sucesiones son consideradas funciones con dominio el conjunto de los números naturales.
La monotonía (o monotonicidad) es una característica de algunas sucesiones. Decimos que una sucesión es monótona si esta es creciente o decreciente. 

  • En una sucesión creciente el término de lugar "n+1" es mayor o igual que el término de lugar "n".
  • En una sucesión decreciente el término de lugar "n+1" es menor o igual que el término de lugar "n". 

Las sucesiones son infinitas por lo que no podemos numerar todos sus términos, sin embargo es posible intuir su monotonía a partir de los primeros términos. Dada la regla que define una sucesión podemos estudiar (o probar) su monotonía de diferentes formas. Compartimos un documento donde se muestra cuatro formas de hacerlo. 

Puede descargarse el documento AQUI

sábado, 3 de mayo de 2014

Euler y una osada analogía

En su libro Matemática y Razonamiento Plausible, George Polya señala que la analogía parece tener participación en todos los descubrimientos. Polya describe como Leonhard Euler (1707-1783), utilizando de manera osada la analogía resolvió la suma de la serie infinita formada por los cuadrados de los recíprocos de los números naturales:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

Esta serie había sido estudiada por Jacques Bernoulli (1674-1705) quien no llegó a dar con la solución y escribió “Si alguien encuentra lo que hasta ahora ha resistido nuestros esfuerzos y nos lo comunica le estaremos muy agradecidos por ello.” Polya señala que la analogía empleada por Euler le había conducido a una conjetura extraordinariamente osada. Esta osada analogía merece compartirse y apreciar toda la genialidad de Euler. En las siguientes líneas describimos el proceso seguido. 

Referencia:
Polya, G. (1966) Matemática y Razonamiento plausible. Editorial Tecnos, Buenos Aires, pp. 43-46

sábado, 5 de abril de 2014

La geometría detrás del fallo de la Haya

Los antiguos griegos solían construir sus objetos geométricos utilizando regla y compás. De aquí su manejo de conceptos como punto, recta y distancia. La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas y fue Euclides de Alejandría (325a.C.–270a.C.) quien sentó sus bases. En su obra “Los Elementos”, partiendo de ciertos axiomas y definiciones, Euclides utilizó el razonamiento para demostrar de manera rigurosa teoremas que, a su vez, sirvieron para deducir un conjunto de propiedades asociadas con las figuras geométricas. El último enero de 2014 la Corte de la Haya dio su fallo respecto a la delimitación marítima entre Chile y Perú donde se establece una línea equidistante cuyo trazo se hace tomando en cuenta situaciones de la geometría Euclidiana.
Una revisión de los teoremas y problemas incluidos en Los Elementos muestra que era conocida la solución de la situación que describimos a continuación.
Situación problemática 1:
Dado un punto A exterior a una línea recta L y un punto B en L, encontrar un punto C en L tal que A equidiste de B y C.

Equidistar significa estar a igual distancia. Así entonces decir que el punto A equidista de los puntos B y C significa que la distancia de A a B debe ser la misma que la de A a C. Luego el problema consiste en ubicar, en la línea recta L, un punto C tal que la distancia del punto A (externo a L) a dicho punto C sea igual que la distancia del punto A al punto B (fijo en L). 
Figura 1

La figura 1 muestra que podemos ubicar en la recta L distintos puntos como C1, C2, C3 y C4 pero que no necesariamente cumplan la condición de equidistancia. Se puede demostrar que solo un punto la cumpliría. La resolución del problema es sencilla si nos basamos en conceptos básicos de la geometría. Tomando como centro el punto A y radio la distancia de A a B trazamos un arco de circunferencia que, como se indica en la figura 2, corta a la recta L en un punto. Este punto de corte es el punto C que buscamos. En efecto, la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo. De aquí que el trazo de un arco de circunferencia nos permita encontrar la ubicación del punto buscado.
Figura 2

La situación 1 presentada inicialmente se puede replantear del siguiente modo.
Situación problemática 2:
Dado un punto A exterior a una línea quebrada L y un punto B en L, encontrar el punto C en L, más cercano a B, tal que A equidiste de B y C.
Línea quebrada es la compuesta por segmentos rectos consecutivos que siguen distintas direcciones. Igual que el caso anterior podemos ubicar en la línea quebrada L distintos puntos como C1, C2, C3 y C4 pero que no necesariamente cumplan la condición de equidistancia. A diferencia del caso anterior se puede encontrar en la línea quebrada más de un punto equidistante, sin embargo solo uno de ellos será el más cercano a B.
Figura 3

La solución de la nueva situación, considerando una línea quebrada, se encuentra siguiendo la misma estrategia que con una línea recta. Es decir trazando un arco de circunferencia de centro el punto A y radio la distancia de A a B. El punto de corte más cercano a B será el punto C buscado. Véase la figura 4.
Figura 4

Tomemos en cuenta la situación 2 y supongamos que el punto A es un punto en el mar, la línea quebrada L el perfil costero y el punto B un punto de la costa perfilada por L. Si C es un punto en la costa que debe cumplir la condición de equidistancia de la situación 2, es claro que dicho punto se puede encontrar siguiendo la estrategia descrita líneas arriba. Fue este el método seguido por la Corte Internacional de Justicia de la Haya para determinar el primer punto base en la costa peruana sobre el cual se trazaría la línea equidistante que fijaría los límites marítimos de Chile y Perú.
In order to construct such a line, the Court first selects appropriate base points … and on the Peruvian coast at a point where the arc of a circle with an 80-nautical-mile radius from Point A intersects with the Peruvian coast

La metodología para hallar los otros puntos de base y, a partir de ello, el trazo de la línea equidistante es igual de interesante. Este es un ejemplo de como la geometría permite resolver situaciones problemáticas reales. Por lo general la geometría que ven nuestros escolares se reduce a la resolución de ejercicios descontextualizados, sin mayor significado y que fomentan el desarrollo de unas pocas capacidades. Lo descrito líneas arriba es una excelente oportunidad para que los docentes diseñen una actividad de aprendizaje que permita a sus estudiantes tener un verdadero contacto con la geometría y desarrollar capacidades de nivel superior. 

viernes, 4 de abril de 2014

Convergencia de una sucesión

Compartimos un enlace que ayuda a comprender el concepto de convergencia de una sucesión y el papel de Epsilon en la definición formal.
https://www.youtube.com/watch?v=N4koYpooKYo