sábado, 3 de mayo de 2014

Euler y una osada analogía

En su libro Matemática y Razonamiento Plausible, George Polya señala que la analogía parece tener participación en todos los descubrimientos. Polya describe como Leonhard Euler (1707-1783), utilizando de manera osada la analogía resolvió la suma de la serie infinita formada por los cuadrados de los recíprocos de los números naturales:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

Esta serie había sido estudiada por Jacques Bernoulli (1674-1705) quien no llegó a dar con la solución y escribió “Si alguien encuentra lo que hasta ahora ha resistido nuestros esfuerzos y nos lo comunica le estaremos muy agradecidos por ello.” Polya señala que la analogía empleada por Euler le había conducido a una conjetura extraordinariamente osada. Esta osada analogía merece compartirse y apreciar toda la genialidad de Euler. En las siguientes líneas describimos el proceso seguido. 

Referencia:
Polya, G. (1966) Matemática y Razonamiento plausible. Editorial Tecnos, Buenos Aires, pp. 43-46

sábado, 5 de abril de 2014

La geometría detrás del fallo de la Haya

Los antiguos griegos solían construir sus objetos geométricos utilizando regla y compás. De aquí su manejo de conceptos como punto, recta y distancia. La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas y fue Euclides de Alejandría (325a.C.–270a.C.) quien sentó sus bases. En su obra “Los Elementos”, partiendo de ciertos axiomas y definiciones, Euclides utilizó el razonamiento para demostrar de manera rigurosa teoremas que, a su vez, sirvieron para deducir un conjunto de propiedades asociadas con las figuras geométricas. El último enero de 2014 la Corte de la Haya dio su fallo respecto a la delimitación marítima entre Chile y Perú donde se establece una línea equidistante cuyo trazo se hace tomando en cuenta situaciones de la geometría Euclidiana.
Una revisión de los teoremas y problemas incluidos en Los Elementos muestra que era conocida la solución de la situación que describimos a continuación.
Situación problemática 1:
Dado un punto A exterior a una línea recta L y un punto B en L, encontrar un punto C en L tal que A equidiste de B y C.

Equidistar significa estar a igual distancia. Así entonces decir que el punto A equidista de los puntos B y C significa que la distancia de A a B debe ser la misma que la de A a C. Luego el problema consiste en ubicar, en la línea recta L, un punto C tal que la distancia del punto A (externo a L) a dicho punto C sea igual que la distancia del punto A al punto B (fijo en L). 
Figura 1

La figura 1 muestra que podemos ubicar en la recta L distintos puntos como C1, C2, C3 y C4 pero que no necesariamente cumplan la condición de equidistancia. Se puede demostrar que solo un punto la cumpliría. La resolución del problema es sencilla si nos basamos en conceptos básicos de la geometría. Tomando como centro el punto A y radio la distancia de A a B trazamos un arco de circunferencia que, como se indica en la figura 2, corta a la recta L en un punto. Este punto de corte es el punto C que buscamos. En efecto, la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo. De aquí que el trazo de un arco de circunferencia nos permita encontrar la ubicación del punto buscado.
Figura 2

La situación 1 presentada inicialmente se puede replantear del siguiente modo.
Situación problemática 2:
Dado un punto A exterior a una línea quebrada L y un punto B en L, encontrar el punto C en L, más cercano a B, tal que A equidiste de B y C.
Línea quebrada es la compuesta por segmentos rectos consecutivos que siguen distintas direcciones. Igual que el caso anterior podemos ubicar en la línea quebrada L distintos puntos como C1, C2, C3 y C4 pero que no necesariamente cumplan la condición de equidistancia. A diferencia del caso anterior se puede encontrar en la línea quebrada más de un punto equidistante, sin embargo solo uno de ellos será el más cercano a B.
Figura 3

La solución de la nueva situación, considerando una línea quebrada, se encuentra siguiendo la misma estrategia que con una línea recta. Es decir trazando un arco de circunferencia de centro el punto A y radio la distancia de A a B. El punto de corte más cercano a B será el punto C buscado. Véase la figura 4.
Figura 4

Tomemos en cuenta la situación 2 y supongamos que el punto A es un punto en el mar, la línea quebrada L el perfil costero y el punto B un punto de la costa perfilada por L. Si C es un punto en la costa que debe cumplir la condición de equidistancia de la situación 2, es claro que dicho punto se puede encontrar siguiendo la estrategia descrita líneas arriba. Fue este el método seguido por la Corte Internacional de Justicia de la Haya para determinar el primer punto base en la costa peruana sobre el cual se trazaría la línea equidistante que fijaría los límites marítimos de Chile y Perú.
In order to construct such a line, the Court first selects appropriate base points … and on the Peruvian coast at a point where the arc of a circle with an 80-nautical-mile radius from Point A intersects with the Peruvian coast

La metodología para hallar los otros puntos de base y, a partir de ello, el trazo de la línea equidistante es igual de interesante. Este es un ejemplo de como la geometría permite resolver situaciones problemáticas reales. Por lo general la geometría que ven nuestros escolares se reduce a la resolución de ejercicios descontextualizados, sin mayor significado y que fomentan el desarrollo de unas pocas capacidades. Lo descrito líneas arriba es una excelente oportunidad para que los docentes diseñen una actividad de aprendizaje que permita a sus estudiantes tener un verdadero contacto con la geometría y desarrollar capacidades de nivel superior. 

viernes, 4 de abril de 2014

Convergencia de una sucesión

Compartimos un enlace que ayuda a comprender el concepto de convergencia de una sucesión y el papel de Epsilon en la definición formal.
https://www.youtube.com/watch?v=N4koYpooKYo



jueves, 27 de marzo de 2014

Cuando una periodista interpreta mal las matemáticas

El último domingo 23 de marzo, en el programa Panorama se presentó un reportaje denunciando el abuso cometido por los elevados precios que se cobran por los medicamentos en las clínicas. Durante el desarrollo del reportaje la periodista mostrando dos medicamentos similares, uno en cada mano, señalaba:
Tengo en mis manos dos productos que son idénticos. La misma marca, el mismo laboratorio, la misma dosis. Esta sin embargo cuesta S/. 40 en una botica o farmacia. Esta llega a costar S/. 120 en una clínica privada. Tres veces más de diferencia.
Sin duda se trata de una grave denuncia y el reportaje mostraba las pruebas del caso. Sin embargo, y sin desmerecer la importancia de la denuncia, queremos llamar la atención en cuanto a algo de lo señalado por la reportera. Al hacer la comparación entre los precios llega a una conclusión que no es correcta: Tres veces más de diferencia.

1) Si el precio en botica del medicamento es de S/. 40 y el precio en una clínica privada es de S/. 120, entonces el precio en clínica es tres veces el precio en botica. Evidentemente S/. 120 es el triple de S/. 40 ya que si dividimos 120 entre 40 resulta 3. Luego se puede decir que el precio en una clínica es tres veces el precio en botica. 
   2) Si el precio en botica del medicamento es de S/. 40 y el precio en una clínica privada es de S/. 120, entonces la diferencia de los precios es de S/. 80. Esta diferencia de S/. 80 es dos veces (el doble) el precio en botica (S/. 40). Luego se puede decir que el precio en una clínica es dos veces más que el precio en botica.
No es lo mismo decir “tres veces” que decir “tres veces más”. Tampoco significa lo mismo. La frase “tres veces” nos lleva a una operación simple (multiplicación) y la “frase tres veces más” a una operación compuesta (multiplicación y adición). Decir “tres veces más” equivale a decir “cuatro veces”. En efecto, tres veces más significa tres veces más que algo. Más correctamente significa algo más tres veces el algo. Si cambiamos el tipo de representación esto se comprende mejor. Representemos con C el precio del medicamento en clínica y con B el precio del medicamento en botica. La expresión “el precio en clínica es tres veces el precio en botica” se escribe como “C=3B” mientras que “el precio en clínica es tres veces más que el precio en botica” se escribe como “C=B+3B” es decir “C=4B”.
Supongamos que fuera correcto decir que si el precio en botica del medicamento es de S/. 40 y el precio en una clínica privada es de S/. 120, entonces hay “tres veces más de diferencia”. Esto significaría que, con respecto al precio en botica de S/. 40, decir “dos veces más de diferencia” supondría un precio en clínica de S/. 80 y “una vez más de diferencia” supondría un precio en clínica de S/. 40. Esto último nos lleva a una contradicción ya que decir “una vez más de diferencia” significa que hay diferencia, pero bajo este supuesto no hemos llegado a diferencia alguna entre los precios. 
Si el precio en botica del medicamento es de S/. 40 y el precio en una clínica privada es de S/. 120, entonces hay “dos veces más de diferencia” y no “tres veces más de diferencia”. No es lo mismo “ene veces” que “ene veces más”. Sin embargo es frecuente ver como muchas personas, entre ellos políticos y comunicadores, usan erróneamente una por otra cuando no corresponde. Es sabido que nuestro país tiene debilidades en matemáticas y comprensión lectora. Esta entrada muestra un caso donde se hace una mala interpretación de un resultado confundiéndose el triple con tres veces más. 

martes, 18 de marzo de 2014

¿Es cero un número natural?

La respuesta es sí y no, depende del enfoque que se adopte. Mientras que nadie discute que el número 1 es un número natural y que el 0 es un número entero si existen discrepancias en cuanto a la naturaleza del 0. Considerar al cero como natural o no es una cuestión de conveniencia que, en gran medida, depende del nivel y la naturaleza del curso de matemática que se desarrolla. El docente debe conocer ambos enfoques y adoptar uno de ellos dando razones del porqué de su elección. En las siguientes líneas haremos una breve descripción de estos enfoques.
Un primer enfoque señala que el cero no es un número natural. El argumento se basa en lo “natural” de los números naturales. Los naturales fue el primer conjunto numérico que creó el hombre. No es descabellado pensar que el hombre primitivo tenía el sentido del número, esto es la facultad que “le permite reconocer que algo ha cambiado en una pequeña colección cuando, sin su conocimiento directo, se ha sacado o añadido un objeto” (Dantzig, 1971). El hombre establece relaciones de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Al primer objeto de un conjunto se le asocia un objeto del otro conjunto, al segundo objeto se le asocia otro y así hasta agotar el número de objetos del primer conjunto. Por ejemplo haciendo una pila de piedras colocando una tras otra por cada objeto registrado de la colección. Nace la idea del número cardinal. De aquí que representar lo que se ve para registrar el número de objetos de cierta colección decanta como algo natural. Incisiones sobre un árbol, marcas en arcilla y rayas en piedras resultaron formas naturales de registrar números en forma escrita. Evidencia de esto son el registro de números naturales en los documentos dejados por los sumerios alrededor del 3500 a.C. En la escritura cuneiforme solo existían símbolos para los números 1, 10, 60 y 3600 (Bellos, 2011), no existía una representación del cero. Lo mismo podemos decir de los egipcios, babilonios y romanos. La representación del número cero nos llega mucho después, sobre todo como una necesidad de la representación posicional. Según Dantzig (1971) “la mente concreta de los antiguos griegos no podía concebir el vacío como un número” menos aún dotarlo de un símbolo. Se atribuye a los hindúes el descubrimiento del cero por la necesidad de representar números sin ambigüedad. Se debe a ellos el uso del cero, no sólo como cifra numérica, sino como símbolo operatorio (Rey y Babini, 1951). 

martes, 4 de marzo de 2014

Una mala representación de los conjuntos numéricos

Al hacer una búsqueda por Google acerca del tema conjuntos numéricos en las imágenes encontramos un buen número de representaciones como la mostrada en la figura 1. Sin embargo esta representación no describe en forma correcta las relaciones que existen entre los distintos conjuntos numéricos. Se muestra una zona de números reales que no son racionales ni irracionales y sabemos que no existen este tipo de números.
Figura 1


sábado, 11 de enero de 2014

Convergencia de una sucesión

Una sucesión es un conjunto de números reales que siguen un orden determinado. Suele ser definida como una función con dominio los naturales. A cada número natural le corresponde un único número real. Toda sucesión siempre tiene un primer término pero, al ser infinita, no podemos determinar su último término. De aquí que para estudiar una sucesión debemos hacer algunas inferencias acerca del comportamiento de sus términos. Tres de las características que describen una sucesión son la monotonía, acotación y convergencia. Por el axioma de completitud, si una sucesión es monótona y acotada, entonces es convergente.

La siguiente es la definición formal de convergencia:
Es recomendable que antes de introducir esta definición formal los estudiantes hayan comprendido el significado de una sucesión convergente. Y por tanto, previamente, el significado de una sucesión monótona y acotada. La experiencia nos muestra que introducir (o insistir) en la definición formal, sobre todo en estudiantes cuya carrera profesional no requiere tal grado de abstracción, genera una mala actitud hacia el tema y por tanto hacia el curso.
Compartimos un video de una presentación donde se explica el concepto de convergencia de una sucesión de números reales. 
http://www.youtube.com/watch?v=dZcEkdG-asg
También compartimos un adjunto donde decimos algo más acerca de las sucesiones.
SUCESIONES