Teorema del valor intermedio

Teorema del valor intermedio (TVI)

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea N un número estrictamente entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un número c en ]a,b[ tal que f(c)=N.

El teorema del valor intermedio (TVI) afirma que si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y escogemos un número real N comprendido entre los valores de la función en los extremos del intervalo cerrado, es decir entre f(a) y f(b), siempre será posible encontrar en la gráfica de f al menos un punto de coordenadas (c,N) donde c está comprendido entre a y b. 

Si f es continua en [a,b], entonces su gráfica es una curva sin huecos ni saltos. Luego podemos desplazarnos a través de dicha curva desde el punto (a,f(a)) hasta el punto (b,f(b)), sin ninguna interrupción. De aquí que si N es un número comprendido entre f(a) y f(b) la recta y=N corta a la gráfica de f en un punto cuya abscisa c está comprendida entre a y b.

El TVI es un teorema de existencia. Los teoremas de este tipo afirman la existencia de un número siempre que se cumplan determinadas condiciones. Su importancia radica en garantizar la existencia del número aunque no sepamos su valor. 

Si del TVI consideramos el caso en que f(a) es negativo y f(b) es postivo, tenemos que 0 está comprendido entre f(a) y f(b) por lo que podemos afirmar la existencia de un c en ]a,b[ tal que f(c)=0. Esta consecuencia del TVI, conocida como corolario del teorema del valor intermedio, permite afirmar la existencia de raíces o soluciones de la ecuación f(x)=0.
Compartimos algunos ejercicios de aplicación del TVI.

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