La geometría detrás del fallo de la Haya

Los antiguos griegos solían construir sus objetos geométricos utilizando regla y compás. De aquí su manejo de conceptos como punto, recta y distancia. La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas y fue Euclides de Alejandría (325a.C.–270a.C.) quien sentó sus bases. En su obra “Los Elementos”, partiendo de ciertos axiomas y definiciones, Euclides utilizó el razonamiento para demostrar de manera rigurosa teoremas que, a su vez, sirvieron para deducir un conjunto de propiedades asociadas con las figuras geométricas. El último enero de 2014 la Corte de la Haya dio su fallo respecto a la delimitación marítima entre Chile y Perú donde se establece una línea equidistante cuyo trazo se hace tomando en cuenta situaciones de la geometría Euclidiana.

Una revisión de los teoremas y problemas incluidos en Los Elementos muestra que era conocida la solución de la situación que describimos a continuación.

Situación problemática 1:

Dado un punto A exterior a una línea recta L y un punto B en L, encontrar un punto C en L tal que A equidiste de B y C.

Equidistar significa estar a igual distancia. Así entonces decir que el punto A equidista de los puntos B y C significa que la distancia de A a B debe ser la misma que la de A a C. Luego el problema consiste en ubicar, en la línea recta L, un punto C tal que la distancia del punto A (externo a L) a dicho punto C sea igual que la distancia del punto A al punto B (fijo en L). 

Figura 1

La figura 1 muestra que podemos ubicar en la recta L distintos puntos como C₁, C₂, C₃ y C₄ pero que no necesariamente cumplan la condición de equidistancia. Se puede demostrar que solo un punto la cumpliría. La resolución del problema es sencilla si nos basamos en conceptos básicos de la geometría. Tomando como centro el punto A y radio la distancia de A a B trazamos un arco de circunferencia que, como se indica en la figura 2, corta a la recta L en un punto. Este punto de corte es el punto C que buscamos. En efecto, la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo. De aquí que el trazo de un arco de circunferencia nos permita encontrar la ubicación del punto buscado.

Figura 2

La situación 1 presentada inicialmente se puede replantear del siguiente modo.

Situación problemática 2:

Dado un punto A exterior a una línea quebrada L y un punto B en L, encontrar el punto C en L, más cercano a B, tal que A equidiste de B y C.

Línea quebrada es la compuesta por segmentos rectos consecutivos que siguen distintas direcciones. Igual que el caso anterior podemos ubicar en la línea quebrada L distintos puntos como C₁, C₂, C₃ y C₄ pero que no necesariamente cumplan la condición de equidistancia. A diferencia del caso anterior se puede encontrar en la línea quebrada más de un punto equidistante, sin embargo solo uno de ellos será el más cercano a B.

Figura 3

La solución de la nueva situación, considerando una línea quebrada, se encuentra siguiendo la misma estrategia que con una línea recta. Es decir trazando un arco de circunferencia de centro el punto A y radio la distancia de A a B. El punto de corte más cercano a B será el punto C buscado. Véase la figura 4.

Figura 4

Tomemos en cuenta la situación 2 y supongamos que el punto A es un punto en el mar, la línea quebrada L el perfil costero y el punto B un punto de la costa perfilada por L. Si C es un punto en la costa que debe cumplir la condición de equidistancia de la situación 2, es claro que dicho punto se puede encontrar siguiendo la estrategia descrita líneas arriba. Fue este el método seguido por la Corte Internacional de Justicia de la Haya para determinar el primer punto base en la costa peruana sobre el cual se trazaría la línea equidistante que fijaría los límites marítimos de Chile y Perú.

“In order to construct such a line, the Court first selects appropriate base points … and on the Peruvian coast at a point where the arc of a circle with an 80-nautical-mile radius from Point A intersects with the Peruvian coast”

La metodología para hallar los otros puntos de base y, a partir de ello, el trazo de la línea equidistante es igual de interesante. Este es un ejemplo de como la geometría permite resolver situaciones problemáticas reales. Por lo general la geometría que ven nuestros escolares se reduce a la resolución de ejercicios descontextualizados, sin mayor significado y que fomentan el desarrollo de unas pocas capacidades. Lo descrito líneas arriba es una excelente oportunidad para que los docentes diseñen una actividad de aprendizaje que permita a sus estudiantes tener un verdadero contacto con la geometría y desarrollar capacidades de nivel superior.