Enunciado ambiguo

Revisaba con mi hijo de 10 años las respuestas a su tarea de matemáticas y en uno de los ejercicios de su libro de texto se pedía escribir la ecuación que corresponda al siguiente enunciado(1):

El triple de la edad de Ada aumentado en 4 es 68

Es decir la tarea consistía en traducir el enunciado del lenguaje natural al lenguaje matemático introduciendo la incógnita correspondiente. Sin embargo este enunciado es ambiguo y artificial. Podemos interpretarlo de dos formas y cada una origina una ecuación cuya solución es poco realista. A continuación discutimos las razones que respaldan nuestra afirmación.

El papel de los indicios verbales
En las operaciones matemáticas el reconocimiento de indicios verbales o ciertas palabras claves juegan un importante papel. Ocurre lo mismo cuando planteamos una ecuación. Lo que se expresa en el lenguaje natural o cotidiano no se interpreta de la misma manera en el lenguaje matemático. Un ejemplo lo encontramos en el uso del término “por” cuya interpretación como una operación aritmética no siempre es la misma. El término “por” denota multiplicación de números y también proporción. La primera acepción lo encontramos en la expresión “dos por cuatro” la cual implica multiplicar los números dos y cuatro. La segunda acepción lo encontramos en la expresión “tres por ciento”, que se entiende como tres de cada cien y que operativamente representamos por 3/100. Reconocer estas frases claves nos facilita la escritura de la ecuación ya que podemos sustituir dichas frases por el objeto matemático correspondiente.
Si como se señalaba en el libro representamos con “a” la edad de Ada, el enunciado “el triple de la edad de Ada aumentado en 4 es 68” se puede reescribir como “el triple de ‘a’ aumentado en 4 es 68”. Lo cual constituye un avance, sin embargo este enunciado sigue siendo impreciso. No se precisa a “qué” se le debe aumentar en 4. O bien se aumenta en 4 al “triple de a”o bien se aumenta en 4 a “a”. Visto de otro modo, no se precisa “qué” se debe triplicar. O bien se trata del triple de “a” o bien se trata del triple de “a aumentado en 4”. Los términos “triple” y “aumentado” también constituyen indicios verbales. El “triple de algo” se interpreta como “tres veces el algo”, es decir se trata de la multiplicación del número 3 con la incógnita que representa el “algo”. Por otro lado “algo aumentado en” se interpreta como “adicionar al algo una cierta cantidad” lo que nos remite a la operación de adición del algo con la cantidad aumentada. Finalmente decimos que el término “es”, en este contexto, debe ser considerado como una abreviación de “resulta” lo que nos lleva a la relación de igualdad.

De acuerdo a lo señalado anteriormente son posibles dos representaciones matemáticas para el mismo enunciado:
1era interpretación: 3a + 4 = 68 … (I)
2da interpretación: 3(a + 4) = 68 … (II)
Estas ecuaciones expresan cosas distintas y generan distintas soluciones.

Buscando precisar el enunciado
Por lo general los alumnos cometen errores al plantear una ecuación. El problema se da en gran medida por que se involucran dos procesos: comprensión y traducción. Polya (2002) señala que plantear una ecuación “es expresar por medio de símbolos matemáticos una condición formulada en palabras”. Para Polya plantear es traducir “el lenguaje llano a fórmulas matemáticas” y en toda traducción nos concentramos más en el sentido general del enunciado que en las palabras mismas. Si el enunciado escrito en lenguaje natural es ambiguo, entonces no se podrá realizar la traducción al lenguaje matemático.
El lenguaje cotidiano es impreciso, por el contrario el lenguaje matemático es exacto. Un enunciado en lenguaje natural gramaticalmente correcto puede carecer de sentido. Por ejemplo la oración “Javier es un número par” presenta una estructura gramatical clara. Reconocemos el sujeto “Javier” y el predicado “es un número par”, sin embargo dicho enunciado carece de sentido. Carnap citado por Ayer (1965) señala que “el hecho de que los lenguajes naturales permitan la formación de secuenciales de palabras desprovistas de significado sin violar las reglas de la gramática indica que la sintaxis gramatical es, desde el punto de vista lógico, inadecuada”. Podemos decir lo mismo para la matemática ya que ella, al igual que la lógica, es una ciencia formal.
Algunos enunciados del lenguaje natural pueden tener distinto significado si no se aplican ciertas jerarquías. Piscoya (2007) en su libro Lógica general cita los ejemplos: “mientras dormían, los centinelas vigilaron el campamento” y “mientras dormían los centinelas, vigilaron el campamento”, los cuales expresan claramente cosas distintas. En el primer caso son los centinelas quienes vigilaron el campamento, en el segundo caso fueron otros los que lo vigilaron. Al obviar el uso de la coma tendríamos “mientras dormían los centinelas vigilaron el campamento” y ya no quedaría claro quienes vigilaron el campamento. Los signos de puntuación son un recurso para evitar la ambigüedad. Estos marcan determinadas pausas con la finalidad de dar sentido y significado al enunciado. Luego, al igual que con el ejemplo de los centinelas, la ambigüedad del enunciado “el triple de la edad de Ada aumentado en 4 es 68” se evitaría colocando adecuadamente signos de puntuación. Si bien no sabemos cual de las ecuaciones - I o II – esperan los autores del texto que lleguen a escribir los alumnos, a fin de evitar la doble interpretación proponemos lo siguiente:

1. Si la intención es generar la ecuación 3a + 4 = 68 el enunciado debe ser “el triple de la edad de Ada, aumentado en 4, es 68”.
2. Si la intención es generar la ecuación 3(a + 4) = 68 el enunciado debe ser “el triple, de la edad de Ada aumentado en 4, es 68”.
Cualquiera de estas dos formas otorga precisión al enunciado “el triple de la edad de Ada aumentado en 4 es 68” evitando su ambigüedad. Otras formas equivalentes usadas en algunos libros y que no dan cabida a la doble interpretación son: “si al triple de la edad de Ada le aumentamos 4 resulta 68” o “tres veces la suma de la edad de Ada y 4 resulta 68”.

El argumento de la costumbreComprender el lenguaje natural es una condición necesaria para ser capaz de plantear una ecuación. Coincidimos con Nesher (2000) en que “la interpretación del texto de un problema de enunciado verbal es claramente distinta de la interpretación que puede hacerse mediante un uso normal del lenguaje natural”. En el caso del enunciado que se discute “el triple de la edad de Ada aumentado en 4 es 68” el género masculino de la palabra aumentado suele señalarse como un indicio para su correcta interpretación. Desde este punto de vista lo aumentado debe corresponder a “algo” que posea género masculino, lo que en este caso sería “el triple de la edad de Ada”. Luego, desde un análisis del género, la ecuación correspondiente a “el triple de la edad de Ada aumentado en 4 es 68” sería “3a + 4 = 68”.
Con frecuencia encontramos que los docentes acostumbran plantear la ecuación de este modo. Suelen referir que es lo que se acostumbra y se respaldan en el análisis del género hecho líneas arriba. El argumento de la costumbre es un argumento débil. Solemos realizar un conjunto de acciones por costumbre que no siempre son correctas. El uso que, por costumbre, hacemos de determinados términos puede llevar a confusiones en lo que se quiere decir. Esto se hace latente en el significado o sentido que se otorga a una misma palabra en distintos países o regiones. La expresión “me jalas hasta el paradero” puede ser fácilmente comprendida entre los limeños pero no así en otros países de habla hispana. El problema del lenguaje no es reciente y motivó distintos enfoques entre los formalistas y los filósofos del lenguaje. Los primeros obsesionados por la noción del significado y los segundos con respecto a la noción del uso. Wittgenstein, quien pasó de un lado a otro, señalaba que el significado de una palabra es su uso dentro de la lengua. Todo esto llevo al desarrollo de la semiótica como una herramienta para analizar el conocimiento a través del lenguaje. En esta ciencia de los signos se da la tesis de las tres dimensiones del lenguaje: semántico, sintáctico y pragmático. Para Barriga (2006) “… la dimensión pragmática supone la semántica y la sintáctica: Un lenguaje para ser usado por una comunidad de hablantes, debe designar algo y tiene que tener una estructura sintáctica definida”. El enunciado motivo de nuestro análisis no posee una estructura sintáctica clara que permita hacer una única transposición del lenguaje natural al lenguaje matemático.

El argumento de la jerarquíaOtro argumento esbozado con frecuencia por los docentes al optar por la forma de la ecuación I en lugar de la ecuación II es el de la jerarquía de las operaciones. La matemática tiene su propia sintaxis y su propia semántica. Existe una jerarquía de las operaciones aritméticas. Las reglas indican que las multiplicaciones se deben realizar antes que las sumas. Podemos considerar el uso de esta regla al momento de plantear la ecuación que corresponde a “el triple de la edad de Ada aumentado en 4 es 68”. Mientras que “el triple” se relaciona con la multiplicación, “aumentado” se relaciona con la suma. Desde este enfoque “el triple de la edad de Ada” tiene jerarquía sobre “aumentado en 4” lo que nos llevaría a la ecuación I “3a + 4 = 68”. Si bien operativamente la multiplicación tiene jerarquía sobre la suma esto no necesariamente ocurre en los enunciados verbales. En estos casos la jerarquía la otorgan los signos de puntuación.

Lo artificial del enunciado
Si bien en la instrucción no se pide resolver la ecuación escrita, en ambas casos las soluciones obtenidas no son números naturales. En el primer caso se obtiene “a=21.3” y en el segundo “a=18.7” lo que revela lo artificial del ejercicio. Entendemos por “edad” el tiempo que ha vivido una persona y en el uso cotidiano la expresamos como un número natural de años. Solemos hablar de la edad de una persona como de 12 años, 27 años o 53 años. Así lo hacemos cuando se nos pide nuestra edad en un formulario o cuando nos presentamos ante otra persona. Nuestro uso del término edad es como un número natural y no como un decimal de años. Parece bastante natural que si a los alumnos del 5to grado de primaria se le indica que “a” representa la edad de Ada, entonces ellos relacionen “a” con un número natural. Esto es importante en la comprensión del ejercicio.

Cuestión final
La importancia de la matemática radica en que ella posibilita el desarrollo de capacidades fundamentales. Lograr que nuestros alumnos utilicen la lógica en todo tipo de situaciones es una tarea a la cual contribuye el curso de Lógico matemático. Sin embargo plantear una ecuación, por costumbre, no favorece el pensamiento lógico. Trabajar con los alumnos ejercicios y problemas que involucran el planteo de problemas es algo necesario, sin embargo sus enunciados deben ser precisos. Si bien es importante contextualizar los problemas presentando situaciones de la vida cotidiana, ellas deben ser del entorno cercano a los alumnos de modo que facilite su comprensión. Así mismo se deben procurar soluciones reales que refuercen lo natural de la situación planteada. Consideramos que el enunciado descrito en este artículo presenta más de una razón para ser excluido de un texto de 5to grado de primaria.

Luis Hurtado Mondoñedo (2)


(1) LOGICAMENTE 5 primaria. Editorial Norma, Lima 2008, p.120.

(2) Licenciado en educación en la especialidad de matemática, Diplomado en la enseñanza de las matemáticas, Magister en Educación en la mención de Medición, Evaluación y Acreditación de la Calidad de la Educación por la UNMSM.

Referencias
BARRIGA, C. Epistemología. Lima, Programa de Bachillerato en Educación, UNMSM, 2006, pp. 34-35.
CARNAP, R. La eliminación de la metafísica mediante el análisis lógico del lenguaje. En AYER, A. El positivismo lógico. México, Fondo de Cultura Económica, 1965, p.66.
NESHER, P. Posibles relaciones entre lenguaje natural y lenguaje matemático. En Matemáticas y Educación, retos y cambios desde una perspectiva internacional. Barcelona, Editorial GRAÓ, 2000, pp. 109-124.
PISCOYA, L. Lógica general. Lima, Fondo Editorial de la UNMSM, 2007, p.93.
POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. México, Editorial Trillas, 2002, p.143-144.