tag:blogger.com,1999:blog-41953629730266980762024-03-13T02:38:37.145-05:00Mi profesor de matemáticasEn este blog compartimos teoría y práctica de temas de matemática.Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.comBlogger136125tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-21364665510714398142015-08-01T16:24:00.003-05:002015-08-01T16:30:18.255-05:00Feria Internacional del Libro 2015<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIH8ev-bE7SJlRjW0TpIpR59Jc-_KY-addsjt4bnF4KBSP5CFqtmOoi2Uhjg8EbXwTk0tf6AH6eFPTP0ipXZi8hilIyGS5UZOaUHA3ZsDgNAaO9kpFKp6zMFjD70PnUSQVvj6CGScmY9o/s1600/FILL.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="56" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIH8ev-bE7SJlRjW0TpIpR59Jc-_KY-addsjt4bnF4KBSP5CFqtmOoi2Uhjg8EbXwTk0tf6AH6eFPTP0ipXZi8hilIyGS5UZOaUHA3ZsDgNAaO9kpFKp6zMFjD70PnUSQVvj6CGScmY9o/s400/FILL.jpg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">Por estos días se viene realizando la 20<sup>a </sup></span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">edición de la Feria Internacional del Libro de Lima (FILL). Como todos los años suelo visitar la feria por lo menos dos veces. Siempre es grato y relajado pasearse por los diversos stands, darle una mirada a los distintos títulos que exhiben y aprovechar las ofertas que se nos ofrece. Como es de esperarse la mayor oferta de libros está en el campo de la literatura entre novelas y cuentos. También encontramos gran cantidad de libros de autoayuda, liderazgo, temas de salud y para niños. Un poco más escasos son los títulos de diferentes especialidades como Derecho, Marketing, Economía, Psicología, Política y </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">Cine</span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">, entre otras. </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">Aunque no se limitan solo a eso, </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">como se podrá imaginar </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">mis búsquedas van por el lado de libros asociados con las matemáticas y, en esta área, lastimosamente es muy poco lo que se puede encontrar. No me refiero a libros de ejercicios o problemas, de este tipo tenemos al menos dos stands relacionado con lo preuniversitario, sino a libros que permitan a los docentes conocer más acerca del área matemática. Considero que en cuanto a la educación básica o universitaria se refiere, el docente de matemáticas no solo debe saber la teoría y práctica de los temas a tratar sino también su historia, aplicaciones, importancia y relaciones con otras áreas. Además de los diferentes enfoques educativos, las últimas tendencias y las diversas formas de abordar los contenidos atendiendo los diferentes estilos de aprendizaje y los medios tecnológicos que se tienen a la mano. Sobre esto hay poco y lo que hay o bien es repetitivo (de ferias anteriores) o bien es caro. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">Si la oferta de libros internacionales de contenidos matemáticos es limitada, la oferta de libros de contenidos matemáticos </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">de autores nacionales </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">es prácticamente nula. Si bien en nuestro país existe una gran oferta de libros y folletos de matemáticas orientado al sector preuniversitario no son estos los contenidos que demandamos. Esta oferta preuniversitaria se debe en gran medida al papel que jugaron las academias como puente del colegio a la universidad. Si bien hoy en día </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">aún algunas academias siguen cumpliendo esta misión fue en las </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">décadas de los 80´s y 90´s donde el poco número de universidades así como la dificultad de los exámenes de ingreso a las mismas, sobre todo las nacionales, posibilitó la elaboración de materiales y separatas de clase. Estas producciones fueron luego recopiladas, corregidas, aumentadas y en general mejoradas para convertirse en un libro. Así tenemos, entre las más destacadas y numerosas, las publicaciones de Lumbreras que edita los materiales de las academias César Vallejo y Aduni. En Lima tenemos lugares como las librerías en las cercanías de la UNI y San Marcos, el jirón Quilca y la popular feria permanente del jirón Amazonas donde podemos encontrar títulos preuniversitarios de matemáticas de Lumbreras, otras academias y centros preuniversitarios así como de profesores que en un esfuerzo, muchas veces individual, nos han hecho llegar sus producciones. Se trata de diferentes propuestas, estilos, calidades y precios que permiten a un estudiante o docente interesado escoger entre una variedad de libros preuniversitarios. Insistimos en que estos no son los contenidos matemáticos a los que hacemos referencia y que consideramos de interés docente.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">En tanto hay una demanda por la preparación preuniversitaria resulta natural que esta haya motivado la producción de publicaciones preuniversitarias </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">nacionales</span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;"> orientadas a estudiantes. No parece ocurrir lo mismo con publicaciones </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">nacionales </span><span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">de contenidos matemáticos orientados a docentes. Se pueden señalar diferentes hipótesis del porque nos encontramos en este estado. No entraremos en describir las mismas solo mencionaremos que una de ellas se relaciona con no estimular su demanda. Esperemos que en próximas ediciones de la FILL podamos encontrar una oferta creciente y variada de publicaciones nacionales e internacionales de contenidos matemáticos de interés docente.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-63168117078679691792015-06-13T14:57:00.001-05:002015-06-13T14:58:45.183-05:00Calculadoras y aplicaciones en la clase de matemática ¿por qué no?<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif;">Hace poco participé como invitado
a un taller acerca del uso de la calculadora en las clases de matemática. Me
resultó muy grato este encuentro debido a que en el 2008, y después de un año
que me tomó escribirlo, se publicó mi libro “Matemática y pensamiento crítico.
Una aplicación a la Trigonometría” donde dediqué un capítulo al uso de la
calculadora y mencionaba muchas de las cosas que señalaron los panelistas
durante el taller. Han pasado 15 años desde entonces y aún hoy encontramos
docentes de instituciones educativas, muchos de ellos del nivel superior,
resistentes a permitir su uso en las clases de matemáticas.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">Uno de los argumentos más citados
en contra de su uso es que la calculadora reduce la adquisición de destreza en
las operaciones básicas. Quienes, como yo, estamos a favor del uso de la
calculadora pensamos en esta herramienta como un complemento y no como un
sustituto. En los primeros grados debe trabajarse la destreza de realizar
cálculos básicos con lápiz y papel. Se debe aprender los algoritmos de las
operaciones elementales, ganar seguridad y rapidez en su aplicación, ejercitar
el cálculo mental, validar sus resultados y comprender el significado de los
mismos. Hay quienes señalan que operaciones con números de hasta dos cifras
deben hacerse con lápiz y papel, pero para números más grandes deben usarse las
calculadoras. Incorporar el uso de las calculadoras en el aula debe reservarse
para cuando esto se haya logrado. Introducimos la calculadora buscando que el
estudiante entienda las matemáticas mejor, no peor. Con ello buscamos trabajar
otras capacidades evitando la sobrecarga en operaciones básicas. El uso de la
calculadora disminuye el tiempo dedicado a los cálculos y proporciona a los estudiantes
y docentes más tiempo para concentrar el esfuerzo y la atención en la
comprensión de conceptos, elaboración de estrategias y discusión de argumentos.
Cuando las calculadoras son usadas apropiadamente mejoran el aprendizaje de las
matemáticas y facilitan su comprensión.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">El Consejo Nacional de Profesores
de Matemáticas (NCTM), la organización de educación matemática más grande del
mundo, declara que las calculadoras
tienen un importante papel en el apoyo y la promoción del aprendizaje de
matemáticas elementales. Contrariamente a lo que se piensa las investigaciones
han evidenciado que el uso de la calculadora puede promover la adquisición de
la destreza en las operaciones. Además de promover el aprendizaje de otras
ideas matemáticas y el desarrollo de estrategias no formales que les
proporcionan bases más sólidas para sus estudios posteriores en matemáticas. Podemos
no estar de acuerdo con el uso de la calculadora en la educación básica,
discutir en a partir de qué grado se debe permitir su uso o en qué tipo de
ejercicios, actividades o temas pueden ser usadas. Sin embargo considero que en
la educación superior universitaria se debe promover su uso en los cursos de
matemáticas para ganar velocidad y precisión en los cálculos. Con más tiempo
para trabajar en la adquisición de conceptos nuevos y resolución de problemas
podemos enfatizar en importantes aspectos como 1) comprender el problema o
situación propuesta; 2) hacer conjeturas; 3) identificar las variables e
incógnitas involucradas, sus significados y unidades; 4) proponer estrategias
de solución y su planteamiento; y 5) la interpretación de los resultados
obtenidos. <o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">En mi experiencia docente permitir
y promover el uso de la calculadora científica me ha permitido abordar
situaciones problemáticas reales y realistas. Tomar los datos tal y como son en
la realidad y operar con ellos sin temor alguno aumenta el interés de mis
estudiantes por los temas tratados y con ello valorar la importancia que tienen
las matemáticas en diferentes situaciones de nuestra vida cotidiana. Estos
aspectos contribuyen con la democratización de las matemáticas y a mejorar la
actitud hacia las matemáticas. </span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">Modelos recomendados <a href="https://www.google.com/search?q=casio+fx+570+es+plus&espv=2&biw=1339&bih=593&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0CCYQsARqFQoTCL6A2L65jcYCFUOhgAodCl0AjA&dpr=1" target="_blank">Casio fx-570</a> o <a href="https://www.google.com/search?q=casio+fx+570+es+plus&espv=2&biw=1339&bih=593&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0CCYQsARqFQoTCL6A2L65jcYCFUOhgAodCl0AjA&dpr=1#tbm=isch&q=casio+fx+991" target="_blank">Casio fx-991</a></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-24935974969040293482015-03-18T12:19:00.000-05:002015-06-13T14:59:26.857-05:00El día del número PI<span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px; text-align: justify;">El pasado 14 de marzo del 2015 se celebró el día de PI. Grupos de todo el mundo realizaron distintas actividades para festejar esta fecha, véase por ejemplo en Twitter #piday2015. </span><span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px; text-align: justify;">Esta fecha anotada en la forma Mes.DíaAño, es decir 3.1415, nos da los primeros números de la secuencia de PI. Más exactamente a las 9 horas, 26 minutos y 53 segundos de ese día se dio el momento en el que los números ordenados según Mes.DíaAñoHoraMinutosSegundos coincidían con los diez primeros números de la secuencia de PI.</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;">3.141592653...</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;">Lo singular radica en que esta coincidencia en la secuencia no volverá a ocurrir sino hasta después de cien años. Puede revisarse el siguiente enlace </span><span style="color: #141823; font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><span style="font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;"><a href="http://t.co/Grkwh7qhDF">t.co/Grkwh7qhDF</a></span></span><span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;"> para más datos curiosos acerca de esto. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;">Como se sabe PI es un número irracional. Esto es un número decimal infinito no periódico. Con la ayuda de las computadoras se ha podido encontrar PI con más de un millón de decimales.</span><span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;"> </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;">En su blog </span><span style="color: #141823; font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><span style="font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;">Stephen Wolfram, CEO de Wolfram Research, comparte una entrada</span></span><span style="color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;"> <a href="http://bit.ly/1Ere86o" target="_blank">Find your PI Day </a>donde </span><span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;">ingresando tu fecha de nacimiento podrás encontrar dichos números en algún momento de la secuencia infinita de dígitos de PI.</span><span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;"> Por ejemplo e</span><span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;">l mío apareció después de 7702 dígitos. Anímate a encontrar el tuyo.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJaDYSGqef0htXxNgPoFcfFhWKTYToXIkwyhouA2PXicF3wvYADtOmrCEquY1oBRLY-8p10p0QquqX8Z8UREBEeE9R7EOdT8cHmVvBOL6u0wucHB5tOCK555s-3mNJXxio9iBrx3AlKtg/s1600/Presentaci%C3%B3n1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJaDYSGqef0htXxNgPoFcfFhWKTYToXIkwyhouA2PXicF3wvYADtOmrCEquY1oBRLY-8p10p0QquqX8Z8UREBEeE9R7EOdT8cHmVvBOL6u0wucHB5tOCK555s-3mNJXxio9iBrx3AlKtg/s1600/Presentaci%C3%B3n1.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: white; color: #141823; font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; font-size: 14px; line-height: 17.5636348724365px;"><br /></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-70929661491828554442015-03-04T09:37:00.002-05:002015-03-04T09:42:08.177-05:00Álgebra de límites<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">En esta entrada compartimos las demostraciones de las principales reglas del álgebra de límites de funciones de una variable.</span><br />
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpIG6VIRCWCfxvoW-g37N9oKsJWhZdcKb0NrXVz1rz9AXov5P5TFnMDNP8rtvn9DO9Jov3foZORitpve-trqTF6rUXL0oiMkWw7GXJKJmCzdNekicWyMTCqTjg-BMaKOKhTsZzfmkA8R8/s1600/limites.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpIG6VIRCWCfxvoW-g37N9oKsJWhZdcKb0NrXVz1rz9AXov5P5TFnMDNP8rtvn9DO9Jov3foZORitpve-trqTF6rUXL0oiMkWw7GXJKJmCzdNekicWyMTCqTjg-BMaKOKhTsZzfmkA8R8/s1600/limites.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">Pueden descargar el documento <a href="http://goo.gl/9OEBGS" target="_blank">AQUÍ</a></span><br />
<br />Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-52782954187250387112014-10-12T20:38:00.000-05:002014-10-12T20:39:16.316-05:00Series trigonométricas<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La matemática es una ciencia deductiva. A partir de la definición de un objeto matemático podemos deducir algunas de sus propiedades. En la Trigonometría, </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">una de las ramas de las matemáticas elementales, el concepto de razón trigonométrica es </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">uno de los fundamentales. Razones trigonométricas (RT) como el seno, coseno y tangente relacionan los lados y ángulos de un triángulo plano lo que permitió al hombre hacer medidas indirectas como calcular la altura de una montaña o la distancia entre dos ciudades. </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Las RT posibilitan un conjunto de identidades trigonométricas, fundamentales y derivadas, entre las que se incluyen las relacionadas con sumatorias. </span><br />
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Así tenemos que partiendo de la definición del seno y coseno de un ángulo (simple) podemos desprender una identidad para el seno y coseno de la suma o resta de dos ángulos (compuesto). A partir de las identidades del ángulo compuesto podemos transformar el producto de senos y/o cosenos en la suma o resta de senos y cosenos. Esto permite deducir una fórmula para la suma de senos y cosenos de ángulos que siguen una progresión aritmética. </span><br />
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Compartimos un documento donde, a partir de las fórmulas de transformación de producto a suma/diferencia, se deducen un conjunto de fórmulas de series trigonométricas.</span><br />
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ver documento <a href="https://sites.google.com/site/misapuntesdemate2/archivos/trigonometria.pdf" target="_blank">AQUI</a> </span><br />
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><br /></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-76560027176242512862014-10-12T13:04:00.001-05:002014-10-12T13:05:35.078-05:00Acerca de las demostraciones en matemáticas<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Razonamiento y
demostración es una de las capacidades matemáticas fundamentales del Diseño
Curricular de la Educación Básica. Demostración es un razonamiento mediante el
cual se establece la verdad de una proposición. Esencialmente demostrar consiste
en probar. Por lo que demostrar la verdad de una proposición matemática significa
probar, usando el razonamiento, que lo que dice la proposición matemática es
verdadero. La matemática se construye a partir de definiciones y axiomas. Las
primeras definen los objetos matemáticos y las segundas son enunciados cuya
verdad admitimos sin necesidad de demostración. Las definiciones permiten
describir propiedades del objeto matemático. Así, bajo el marco de los axiomas
que rigen diferentes objetos matemáticos, la combinación de sus propiedades permite
enunciar un conjunto de proposiciones matemáticas. Estas proposiciones pueden
ser presentadas como propiedades, lemas, teoremas o corolarios. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Demostrar la
verdad de una proposición matemática supone el uso de definiciones y otras
proposiciones relacionadas presentadas anteriormente. Pero también supone hacer
explícitos un conjunto de pasos que, debidamente justificados, permitan mostrar
la verdad de la proposición matemática. Lo fundamental en la demostración es la
forma como justificamos los pasos que seguimos al demostrar. Justificamos 1) citando
definiciones y/o proposiciones matemáticas previas; 2) al obtener consecuencias
lógicas de la aplicación de las proposiciones previas sobre lo definido; 3) al
desprender expresiones equivalentes al aplicar una fórmula o identidad. Distintas
taxonomías del dominio de la matemática consideran la actividad cognitiva de
demostrar como perteneciente a los niveles superiores. Por tanto desarrollar la
capacidad de demostrar supone haber desarrollado otras actividades cognitivas. <o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">No existe un modelo
único para demostrar una proposición matemática. Una razón de ello tiene que
ver con el nivel que se quiera mostrarla. Aunque se hayan detallado lógicamente,
en una demostración Lages (1998) considera admisible usar resultados
verdaderos, intuitivamente obvios, que son considerados evidentes por los
alumnos. El nivel de rigurosidad empleado en la demostración depende, o debería
depender, del nivel de profundidad con que se estudian los objetos matemáticos.
Esto, a su vez, depende (o debería depender) de los objetivos educacionales que
corresponden a la naturaleza del curso de matemática que se desarrolla. Otra
razón es el lenguaje empleado en la demostración. Se puede justificar
predominando el uso del lenguaje natural o predominando el uso del lenguaje
matemático. Esto depende en gran medida del área matemática que se trate. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Leer más <a href="https://sites.google.com/site/misapuntesdemate2/archivos/demostracion.pdf" target="_blank">AQUI</a></span><o:p></o:p></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-67630017151445402582014-10-12T12:26:00.000-05:002014-10-12T12:49:18.019-05:00Teorema del valor intermedio<div class="MsoNormal" style="line-height: 24px; margin: 6pt 0cm 6pt 35.4pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Teorema del valor intermedio (TVI)</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 24px; margin: 6pt 0cm 6pt 35.4pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><i>Si f</i><span style="font-style: italic; position: relative; top: 5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" o:ole="" style="height: 15.75pt; width: 12.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><i> es una función continua en el intervalo cerrado </i>[<i>a,b</i>]<span style="font-style: italic; position: relative; top: 5pt;"><v:shape id="_x0000_i1026" o:ole="" style="height: 16.5pt; width: 32.25pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><i> y sea N</i><span style="font-style: italic; position: relative; top: 2pt;"><v:shape id="_x0000_i1027" o:ole="" style="height: 12.75pt; width: 14.25pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><i> un número estrictamente entre f</i>(<i>a</i>)<i> </i><i>y </i><i style="line-height: 24.0000019073486px;">f(</i><i style="line-height: 24.0000019073486px;">b</i><span style="line-height: 24.0000019073486px;">)</span><i>, entonces existe al menos un número c</i><span style="font-style: italic; position: relative; top: 3pt;"><v:shape id="_x0000_i1030" o:ole="" style="height: 11.25pt; width: 9pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><i> en </i>]<i>a,b</i>[<span style="font-style: italic; position: relative; top: 5pt;"><v:shape id="_x0000_i1031" o:ole="" style="height: 15.75pt; width: 31.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image007.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><i> tal que </i><i style="line-height: 24.0000019073486px;">f</i><span style="line-height: 24.0000019073486px;">(</span><i style="line-height: 24.0000019073486px;">c</i><span style="line-height: 24.0000019073486px;">)=<i>N</i></span><i>.</i></span><br />
<div>
<br /></div>
</div>
<div style="line-height: 24px; text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">El teorema del valor intermedio (TVI) afirma que si </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">f</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; position: relative; top: 5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" o:ole="" style="height: 15pt; width: 12pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">es una función continua en un intervalo cerrado [</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">a</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">,</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">b</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">]</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; position: relative; top: 5pt;"><v:shape id="_x0000_i1026" o:ole="" style="height: 15.75pt; width: 30.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">y escogemos un número real N </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">comprendido entre los</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">valores de la función en los extremos del intervalo cerrado, es decir entre </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">f(a) y f(b), </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">siempre será posible encontrar en la gráfica de f</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; position: relative; top: 5pt;"><v:shape id="_x0000_i1030" style="height: 15pt; width: 12pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">al menos un punto de coordenadas (c,N)</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; position: relative; top: 5pt;"><v:shape id="_x0000_i1031" o:ole="" style="height: 15.75pt; width: 30pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">donde c</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; position: relative; top: 3pt;"><v:shape id="_x0000_i1032" o:ole="" style="height: 11.25pt; width: 9.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image007.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">está comprendido entre a</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; position: relative; top: 3pt;"><v:shape id="_x0000_i1033" o:ole="" style="height: 11.25pt; width: 11.25pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">y b</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; position: relative; top: 3pt;"><v:shape id="_x0000_i1034" o:ole="" style="height: 13.5pt; width: 9.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\PRINCI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image009.wmz"></v:imagedata></v:shape></span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">. </span></div>
<div style="line-height: 24px; text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Si f es continua en [a,b], entonces su gráfica es una curva sin huecos ni saltos. Luego podemos desplazarnos a través de dicha curva desde el punto (a,f(a)) hasta el punto (b,f(b)), sin ninguna interrupción. De aquí que si N es un número comprendido entre f(a) y f(b) la recta y=N corta a la gráfica de f en un punto cuya abscisa c está comprendida entre a y b.<n a="" abscisa="" b.="" b="" c="" corta="" cual="" cuya="" de="" el="" en="" entonces="" entre="" est="" existe="" f="" fica="" gr="" horizontal="" la="" n="" nbsp="" para="" punto="" recta="" span="" un="" y="N"></n></span></div>
<div style="line-height: 24px; text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">El TVI es un teorema de existencia. Los teoremas de este tipo afirman la existencia de un número siempre que se cumplan determinadas condiciones. Su importancia radica en garantizar la existencia del número aunque no sepamos su valor. </span></div>
<div style="line-height: 24px; text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Si del TVI consideramos el caso en que f(a) es negativo y f(b) es postivo, tenemos que 0 está comprendido entre f(a) y f(b) por lo que podemos afirmar la existencia de un c en ]a,b[ tal que f(c)=0. Esta consecuencia del TVI, conocida como corolario del teorema del valor intermedio, permite afirmar la existencia de raíces o soluciones de la ecuación f(x)=0.<f a="" afirmar="" b="" c="" ces="" como="" conocida="" consecuencia="" continua.="" corolario="" cual="" de="" del="" ecuaci="" el="" en="" entonces="" esta="" existe="" existencia="" f="" intermedio="" la="" n="" o="" para="" permite="" que="" ra="" reales="" sea="" siempre="" soluciones="" teorema="" tvi="" un="" valor="" x=""></f></span><br />
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Compartimos algunos ejercicios de aplicación del TVI.</span></div>
<div style="line-height: 24px; text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Pueden descargar el documento <a href="https://sites.google.com/site/misapuntesdemate2/archivos/tvi.pdf" target="_blank">AQUI</a></span></div>
<div style="line-height: 24px; text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><br /></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-14496332126215457632014-10-12T11:51:00.002-05:002014-10-12T11:52:52.185-05:00Monotonía de una sucesión<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Como sabemos una sucesión es un conjunto de números reales escritos en un orden definido. Así toda sucesión tiene un primer término, un segundo término, un tercer término, etc. De este modo a cada número natural "n" le corresponde un único número real llamado "término de lugar n" o "término enésimo" de la sucesión. Debido a esto las sucesiones son consideradas funciones con dominio el conjunto de los números naturales.</span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La monotonía (o monotonicidad) es una característica de algunas sucesiones. Decimos que una sucesión es monótona si esta es creciente o decreciente. </span><br />
<br />
<ul>
<li><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">En una sucesión creciente el término de lugar "n+1" es mayor o igual que el término de lugar "n".</span></li>
<li><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">En una sucesión decreciente el término de lugar "n+1" es menor o igual que el término de lugar "n". </span></li>
</ul>
<br />
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Las sucesiones son infinitas por lo que no podemos numerar todos sus términos, sin embargo es posible intuir su monotonía a partir de los primeros términos. Dada la regla que define una sucesión podemos estudiar (o probar) su monotonía de diferentes formas. Compartimos un documento donde se muestra cuatro formas de hacerlo. </span><br />
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><br /></span>
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Puede descargarse el documento <a href="https://sites.google.com/site/misapuntesdemate2/archivos/monotonia.pdf" target="_blank">AQUI</a></span>Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-31949590772444876322014-05-03T17:05:00.001-05:002015-03-04T09:42:51.893-05:00Euler y una osada analogía <div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">En su libro Matemática y
Razonamiento Plausible, George Polya señala que la analogía parece tener
participación en todos los descubrimientos. Polya describe como Leonhard Euler
(1707-1783), utilizando de manera osada la analogía resolvió la suma de la
serie infinita formada por los cuadrados de los recíprocos de los números
naturales:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"></span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...</span></div>
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">
</span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Esta serie había sido estudiada
por Jacques Bernoulli (1674-1705) quien no llegó a dar con la solución y escribió
“</span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Si alguien encuentra lo que hasta ahora
ha resistido nuestros esfuerzos y nos lo comunica le estaremos muy agradecidos
por ello</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">.” Polya señala que la analogía empleada por Euler le había
conducido a una conjetura extraordinariamente osada. Esta osada analogía merece
compartirse y apreciar toda la genialidad de Euler. En las siguientes líneas
describimos el proceso seguido. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="https://sites.google.com/site/elprofesorlucho/archivoscompartidos/analogia.pdf" target="_blank">Leer más</a></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-jaWIPR7Lptm0wldlf5fJxMiW5tWVYQvw-TZ8GQgSKZ7N1PVatbxjl3ljeIw279QB0IRpcBZ8X9smCmFZ9HERL7dffeHCMsXAGDOclRRbUe3X9WjIDP_C3lSNpS9lKbomA4U8eDfdaCY/s1600/Presentaci%C3%B3n1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-jaWIPR7Lptm0wldlf5fJxMiW5tWVYQvw-TZ8GQgSKZ7N1PVatbxjl3ljeIw279QB0IRpcBZ8X9smCmFZ9HERL7dffeHCMsXAGDOclRRbUe3X9WjIDP_C3lSNpS9lKbomA4U8eDfdaCY/s1600/Presentaci%C3%B3n1.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Referencia:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Polya, G. (1966) Matemática y Razonamiento plausible. Editorial Tecnos, Buenos Aires, pp. 43-46</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-1510757690923705932014-04-05T17:41:00.000-05:002014-04-05T17:42:35.001-05:00La geometría detrás del fallo de la Haya<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Los antiguos griegos solían
construir sus objetos geométricos utilizando regla y compás. De aquí su manejo
de conceptos como punto, recta y distancia. La geometría es la rama de las
matemáticas que estudia las figuras geométricas y fue Euclides de Alejandría (325a.C.–270a.C.)
quien sentó sus bases. En su obra “Los Elementos”, partiendo de ciertos axiomas
y definiciones, Euclides utilizó el razonamiento para demostrar de
manera rigurosa teoremas que, a su vez, sirvieron para deducir un conjunto de
propiedades asociadas con las figuras geométricas. El último enero de 2014 la Corte
de la Haya dio su fallo respecto a la delimitación marítima entre Chile y Perú
donde se establece una línea equidistante cuyo trazo se hace tomando en cuenta situaciones
de la geometría Euclidiana.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Una revisión de los teoremas y
problemas incluidos en Los Elementos muestra que era conocida la solución de la
situación que describimos a continuación.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Situación problemática 1:<o:p></o:p></span></div>
<blockquote class="tr_bq" style="margin-left: 35.4pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><i>Dado un punto A exterior a una línea recta L
y un punto B en L, encontrar un punto C en L tal que A equidiste de B y C</i>.</span></blockquote>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Equidistar significa estar a igual
distancia. Así entonces decir que el punto A equidista de los puntos B y C
significa que la distancia de A a B debe ser la misma que la de A a C. Luego el
problema consiste en ubicar, en la línea recta L, un punto C tal que la
distancia del punto A (externo a L) a dicho punto C sea igual que la distancia
del punto A al punto B (fijo en L). </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Figura 1</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<o:p></o:p></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUAn3CrxRY6kJBxFNjVDltYTqLu0JDFhqYBVDIgkfqMSOzXgqGdlgJCQ6TTBwcqrg-N8nco6bWyLaJ4toIHmkx4ASrSmWVzaOrGV7qhyphenhyphenMi-pjJeUZCdAoWdaNT_Tx2pyYL8yY_L8XvPOU/s1600/i1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUAn3CrxRY6kJBxFNjVDltYTqLu0JDFhqYBVDIgkfqMSOzXgqGdlgJCQ6TTBwcqrg-N8nco6bWyLaJ4toIHmkx4ASrSmWVzaOrGV7qhyphenhyphenMi-pjJeUZCdAoWdaNT_Tx2pyYL8yY_L8XvPOU/s1600/i1.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La figura 1 muestra que podemos
ubicar en la recta L distintos puntos como C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub>
y C<sub>4</sub> pero que no necesariamente cumplan la condición de
equidistancia. Se puede demostrar que solo un punto la cumpliría. La resolución
del problema es sencilla si nos basamos en conceptos básicos de la geometría.
Tomando como centro el punto A y radio la distancia de A a B trazamos un arco
de circunferencia que, como se indica en la figura 2, corta a la recta L en un
punto. Este punto de corte es el punto C que buscamos. En efecto, la
circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un
punto fijo. De aquí que el trazo de un arco de circunferencia nos permita encontrar
la ubicación del punto buscado. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Figura 2</span><o:p></o:p></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiG26ikZ75YD48ZSo5kB_1o2tOZ6-lLCBKZAUUh5sF6F9AQNlgTEb6ysEx-V9QG9oVtWHVawGsGDMv-RrCyGU2fAcDp89qKCoMBERMhtMn82LQUlP-MmCmZBz18bPhs7BiVyLKhJ-JGDY/s1600/i2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiG26ikZ75YD48ZSo5kB_1o2tOZ6-lLCBKZAUUh5sF6F9AQNlgTEb6ysEx-V9QG9oVtWHVawGsGDMv-RrCyGU2fAcDp89qKCoMBERMhtMn82LQUlP-MmCmZBz18bPhs7BiVyLKhJ-JGDY/s1600/i2.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La situación 1 presentada inicialmente
se puede replantear del siguiente modo. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Situación problemática 2:<o:p></o:p></span></div>
<blockquote class="tr_bq" style="margin-left: 35.4pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><i>Dado un punto A exterior a una línea
quebrada L y un punto B en L, encontrar el punto C en L, más cercano a B, tal que
A equidiste de B y C</i>.</span></blockquote>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Línea quebrada es la compuesta por
segmentos rectos consecutivos que siguen distintas direcciones. Igual que el caso
anterior podemos ubicar en la línea quebrada L distintos puntos como C<sub>1</sub>,
C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub> y C<sub>4</sub> pero que no necesariamente cumplan
la condición de equidistancia. A diferencia del caso anterior se puede encontrar
en la línea quebrada más de un punto equidistante, sin embargo solo uno de
ellos será el más cercano a B. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Figura 3</span><o:p></o:p></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWB4zTXMC8yDZzjD0EdZdPJggpXgehY_VVQK3wGlKIz9WX2YTDdsQT5MjS5fSN4qoYaVyX-EGQRUx-tBB1jQcPom00ZNcE0CGU5e52biyZgEfeSRrBZ11TIuaCPFH4e8VKi66b3-UqG7U/s1600/i3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWB4zTXMC8yDZzjD0EdZdPJggpXgehY_VVQK3wGlKIz9WX2YTDdsQT5MjS5fSN4qoYaVyX-EGQRUx-tBB1jQcPom00ZNcE0CGU5e52biyZgEfeSRrBZ11TIuaCPFH4e8VKi66b3-UqG7U/s1600/i3.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La solución de la nueva situación,
considerando una línea quebrada, se encuentra siguiendo la misma estrategia que
con una línea recta. Es decir trazando un arco de circunferencia de centro el
punto A y radio la distancia de A a B. El punto de corte más cercano a B será
el punto C buscado. Véase la figura 4.<o:p></o:p></span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Figura 4<o:p></o:p></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQOpeCgwoDW3CfeKHje1xPNs-_DDYCLSVUu2ID3XAFhExt9NzYxgC20zyRkA50hq-__Dcr1Ilw3d7VGNx3nGYcIqcdtyG8v-nCiOZYUTToNy1Y1pHma2-PQLjdYiStRTOK-T09B7nLs4A/s1600/i4.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQOpeCgwoDW3CfeKHje1xPNs-_DDYCLSVUu2ID3XAFhExt9NzYxgC20zyRkA50hq-__Dcr1Ilw3d7VGNx3nGYcIqcdtyG8v-nCiOZYUTToNy1Y1pHma2-PQLjdYiStRTOK-T09B7nLs4A/s1600/i4.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Tomemos en cuenta la situación 2
y supongamos que el punto A es un punto en el mar, la línea quebrada L el
perfil costero y el punto B un punto de la costa perfilada por L. Si C es un punto
en la costa que debe cumplir la condición de equidistancia de la situación 2,
es claro que dicho punto se puede encontrar siguiendo la estrategia descrita
líneas arriba. Fue este el método seguido por la Corte Internacional de Justicia
de la Haya para determinar el primer punto base en la costa peruana sobre el
cual se trazaría la línea equidistante que fijaría los límites marítimos de Chile
y Perú.<o:p></o:p></span></div>
<blockquote class="tr_bq" style="margin-left: 35.4pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">“<i>In order to construct such a line, the Court
first selects appropriate base points … and on the Peruvian coast at a point
where the arc of a circle with an 80-nautical-mile radius from Point A
intersects with the Peruvian coast</i>”</span></blockquote>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVJE8YB9VsRBOL5VkzVOTpVtLOjrKsDzrJf281DNYB2KmZ-o7K9m2_SRbC_HjiaRSDsEw52vjrYRSwbJqvyNaARBM1Tri7S70lSjzuUY6QwNCsRxeSKlRqLlE7Fpi1H4BZEXDQ_KYWhDs/s1600/i5.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVJE8YB9VsRBOL5VkzVOTpVtLOjrKsDzrJf281DNYB2KmZ-o7K9m2_SRbC_HjiaRSDsEw52vjrYRSwbJqvyNaARBM1Tri7S70lSjzuUY6QwNCsRxeSKlRqLlE7Fpi1H4BZEXDQ_KYWhDs/s1600/i5.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La metodología para hallar los
otros puntos de base y, a partir de ello, el trazo de la línea equidistante es
igual de interesante. Este es un ejemplo de como la geometría permite resolver
situaciones problemáticas reales. Por lo general la geometría que ven nuestros
escolares se reduce a la resolución de ejercicios descontextualizados, sin
mayor significado y que fomentan el desarrollo de unas pocas capacidades. Lo
descrito líneas arriba es una excelente oportunidad para que los docentes diseñen
una actividad de aprendizaje que permita a sus estudiantes tener un verdadero
contacto con la geometría y desarrollar capacidades de nivel superior. </span><o:p></o:p></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-56556535424616486182014-04-04T10:54:00.000-05:002014-04-04T10:55:25.809-05:00Convergencia de una sucesión<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Compartimos un enlace que ayuda a comprender el concepto de convergencia de una sucesión y el papel de Epsilon en la definición formal.</span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="https://www.youtube.com/watch?v=N4koYpooKYo">https://www.youtube.com/watch?v=N4koYpooKYo</a></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRZ5Ii01TlT_IfK8RnmLJdQO7ro9nxVlpXEY3Jg-By5JWsxd2XBqVize7UaB-lbCFzV5HcNBGndwuyCrTmqy98hN2q0kP4wlMDOavOztW5bfpaSOY-FQNn-0MYTTAOfQxZ3dcAAP7Spog/s1600/convergenciaimagen.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRZ5Ii01TlT_IfK8RnmLJdQO7ro9nxVlpXEY3Jg-By5JWsxd2XBqVize7UaB-lbCFzV5HcNBGndwuyCrTmqy98hN2q0kP4wlMDOavOztW5bfpaSOY-FQNn-0MYTTAOfQxZ3dcAAP7Spog/s1600/convergenciaimagen.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span>Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-21659293748964790382014-03-27T17:59:00.000-05:002014-03-29T10:39:41.002-05:00Cuando una periodista interpreta mal las matemáticas<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">El último domingo 23 de marzo, en
el programa <a href="http://www.panamericana.pe/panorama/nacionales/151331-medicamentos-clinicas-precios-exorbitantes-sigue-igual" target="_blank">Panorama</a> se presentó un reportaje denunciando el
abuso cometido por los elevados precios que se cobran por los medicamentos en
las clínicas.
Durante el desarrollo del reportaje la periodista mostrando dos medicamentos
similares, uno en cada mano, señalaba:</span><br />
<blockquote class="tr_bq">
<i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Tengo en mis manos dos productos que son
idénticos. La misma marca, el mismo laboratorio, la misma dosis. Esta sin
embargo cuesta</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> S/. 40 </span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">en una botica o
farmacia. Esta llega a costar</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> S/. 120 </span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">en
una clínica privada. Tres veces más de diferencia.</i></blockquote>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Sin duda se trata de una grave
denuncia y el reportaje mostraba las pruebas del caso. Sin embargo, y sin desmerecer
la importancia de la denuncia, queremos llamar la atención en cuanto a algo de
lo señalado por la reportera. Al hacer la comparación entre los precios llega a
una conclusión que no es correcta: Tres veces más de diferencia. <o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div>
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-align: justify; text-indent: -18pt;">1)</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-align: justify; text-indent: -18pt;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-align: justify; text-indent: -18pt;">Si el precio en botica del medicamento es de S/.
40 y el precio en una clínica privada es de S/. 120, entonces el precio en
clínica es tres veces el precio en botica. Evidentemente S/. 120 es el triple
de S/. 40 ya que si dividimos 120 entre 40 resulta 3. Luego se puede decir que
el precio en una clínica es </span><u style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-align: justify; text-indent: -18pt;">tres veces</u><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-align: justify; text-indent: -18pt;"> el precio en botica. </span></div>
<div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-indent: -18pt;"> 2)</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-indent: -18pt;"> </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-indent: -18pt;">Si el precio en botica del medicamento es de S/.
40 y el precio en una clínica privada es de S/. 120, entonces la diferencia de
los precios es de S/. 80. Esta diferencia de S/. 80 es dos veces (el doble) el
precio en botica (S/. 40). Luego se puede decir que el precio en una clínica es
</span><u style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-indent: -18pt;">dos veces más</u><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; text-indent: -18pt;"> que el precio en botica.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">No es lo mismo decir “tres veces”
que decir “tres veces más”. Tampoco significa lo mismo. La frase “tres veces”
nos lleva a una operación simple (multiplicación) y la “frase tres veces más” a
una operación compuesta (multiplicación y adición). Decir “tres veces más”
equivale a decir “cuatro veces”. En efecto, tres veces más significa tres veces
más que algo. Más correctamente significa algo más tres veces el algo. Si
cambiamos el tipo de representación esto se comprende mejor. Representemos con
C el precio del medicamento en clínica y con B el precio del medicamento en
botica. La expresión “el precio en clínica es tres veces el precio en botica”
se escribe como “C=3B” mientras que “el precio en clínica es tres veces más que
el precio en botica” se escribe como “C=B+3B” es decir “C=4B”.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Supongamos que fuera correcto decir
que si el precio en botica del medicamento es de S/. 40 y el precio en una
clínica privada es de S/. 120, entonces hay “tres veces más de diferencia”.
Esto significaría que, con respecto al precio en botica de S/. 40, decir “dos
veces más de diferencia” supondría un precio en clínica de S/. 80 y “una vez
más de diferencia” supondría un precio en clínica de S/. 40. Esto último nos
lleva a una contradicción ya que decir “una vez más de diferencia” significa que
hay diferencia, pero bajo este supuesto no hemos llegado a diferencia alguna
entre los precios. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Si el precio en botica del
medicamento es de S/. 40 y el precio en una clínica privada es de S/. 120,
entonces hay “dos veces más de diferencia” y no “tres veces más de diferencia”.
No es lo mismo “ene veces” que “ene veces más”. Sin embargo es frecuente ver
como muchas personas, entre ellos políticos y comunicadores, usan erróneamente
una por otra cuando no corresponde. Es sabido que nuestro país tiene
debilidades en matemáticas y comprensión lectora. Esta entrada muestra un caso
donde se hace una mala interpretación de un resultado confundiéndose el triple
con tres veces más. </span></div>
</div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-36114326629209370382014-03-18T17:31:00.001-05:002014-03-18T17:31:16.747-05:00¿Es cero un número natural?<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La respuesta es sí y no, depende
del enfoque que se adopte. Mientras que nadie discute que el número 1 es un
número natural y que el 0 es un número entero si existen discrepancias en
cuanto a la naturaleza del 0. Considerar al cero como natural o no es una cuestión de
conveniencia que, en gran medida, depende del nivel y la naturaleza del curso de
matemática que se desarrolla. El docente debe conocer ambos enfoques y adoptar
uno de ellos dando razones del porqué de su elección. En las siguientes líneas haremos
una breve descripción de estos enfoques.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Un primer enfoque señala que el
cero no es un número natural. El argumento se basa en lo “natural” de los
números naturales. Los naturales fue el primer conjunto numérico que creó el
hombre. No es descabellado pensar que el hombre primitivo tenía el sentido del
número, esto es la facultad que “le permite reconocer que algo ha cambiado en
una pequeña colección cuando, sin su conocimiento directo, se ha sacado o
añadido un objeto” (Dantzig, 1971). El hombre establece relaciones de
correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Al primer objeto de un
conjunto se le asocia un objeto del otro conjunto, al segundo objeto se le
asocia otro y así hasta agotar el número de objetos del primer conjunto. Por ejemplo
haciendo una pila de piedras colocando una tras otra por cada objeto registrado
de la colección. Nace la idea del número cardinal. De aquí que representar lo
que se ve para registrar el número de objetos de cierta colección decanta como
algo natural. Incisiones sobre un árbol, marcas en arcilla y rayas en piedras
resultaron formas naturales de registrar números en forma escrita. Evidencia de
esto son el registro de números naturales en los documentos dejados por los
sumerios alrededor del 3500 a.C. En la escritura cuneiforme solo existían
símbolos para los números 1, 10, 60 y 3600 (Bellos, 2011), no existía una representación
del cero. Lo mismo podemos decir de los egipcios, babilonios y romanos. La representación
del número cero nos llega mucho después, sobre todo como una necesidad de la
representación posicional. Según Dantzig (1971) “la mente concreta de los antiguos
griegos no podía concebir el vacío como un número” menos aún dotarlo de un
símbolo. Se atribuye a los hindúes el descubrimiento del cero por la necesidad
de representar números sin ambigüedad. Se debe a ellos el uso del cero, no sólo
como cifra numérica, sino como símbolo operatorio (Rey y Babini, 1951).</span> </div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="https://sites.google.com/site/lamatrizmate2/archivos/ceronatural.pdf" target="_blank">Leer más</a></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-16389049711463159102014-03-04T12:50:00.000-05:002014-03-04T12:50:25.015-05:00Una mala representación de los conjuntos numéricos<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Al hacer una búsqueda por Google
acerca del tema <i>conjuntos numéricos</i>
en las imágenes encontramos un buen número de representaciones como la mostrada
en la figura 1. Sin embargo esta representación no describe en forma correcta
las relaciones que existen entre los distintos conjuntos numéricos. Se muestra
una zona de números reales que no son racionales ni irracionales y sabemos que
no existen este tipo de números.</span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Figura 1</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiDtidUW3lnhq3hIibPyg9Sd31Jvikb5zymA3cD0wczkVKUGxOQyD-B25d64Nt5LNVShM3SYFLQ95uVmvvxykT3iGYn_sPSVmgJMhiflwPdYxo4Oocx5rN5zmlACVtgtSk0EC6w6SpwTU/s1600/conjuntos+num%C3%A9ricos.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiDtidUW3lnhq3hIibPyg9Sd31Jvikb5zymA3cD0wczkVKUGxOQyD-B25d64Nt5LNVShM3SYFLQ95uVmvvxykT3iGYn_sPSVmgJMhiflwPdYxo4Oocx5rN5zmlACVtgtSk0EC6w6SpwTU/s1600/conjuntos+num%C3%A9ricos.JPG" height="189" width="200" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="https://sites.google.com/site/lamatrizmate2/archivos/conjuntosnumericos.pdf" target="_blank">Leer más</a></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-43959443279065774322014-01-11T13:23:00.001-05:002014-01-11T13:45:43.648-05:00Convergencia de una sucesión<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Una sucesión es un conjunto de
números reales que siguen un orden determinado. Suele ser definida como una
función con dominio los naturales. A cada número natural le corresponde un
único número real. Toda sucesión siempre tiene un
primer término pero, al ser infinita, no podemos determinar su último término.
De aquí que para estudiar una sucesión debemos hacer algunas inferencias acerca
del comportamiento de sus términos. Tres de las características que describen una
sucesión son la monotonía, acotación y convergencia. Por el axioma de completitud, si una sucesión es monótona y acotada, entonces es convergente.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span>
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La siguiente es la definición formal de convergencia:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsVUE5DUWJRhVeDi8Tam0Bj-n-WZBxEzKWn7HqG0LiRS2N3qCiQ7xVvbjLo-Pegv0a0n4YbtganGQqmFGA0oWyt71nxEcAJYoJ7JzZUgULr3Zqqm835wmjzGXgWM5AktXP2El98OxlEFA/s1600/converg.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsVUE5DUWJRhVeDi8Tam0Bj-n-WZBxEzKWn7HqG0LiRS2N3qCiQ7xVvbjLo-Pegv0a0n4YbtganGQqmFGA0oWyt71nxEcAJYoJ7JzZUgULr3Zqqm835wmjzGXgWM5AktXP2El98OxlEFA/s1600/converg.jpg" height="240" width="320" /></a></div>
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Es recomendable que antes de introducir
esta definición formal los estudiantes hayan comprendido el significado de una
sucesión convergente. Y por tanto, previamente, el significado de una sucesión
monótona y acotada. La experiencia nos muestra que introducir (o insistir) en la
definición formal, sobre todo en estudiantes cuya carrera profesional no
requiere tal grado de abstracción, genera una mala actitud hacia el tema y por
tanto hacia el curso.</span></div>
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Compartimos un video de una presentación donde se explica el concepto de convergencia de una sucesión de números reales. </span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="http://www.youtube.com/watch?v=dZcEkdG-asg">http://www.youtube.com/watch?v=dZcEkdG-asg</a></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">También compartimos un adjunto donde decimos algo más acerca de las sucesiones.</span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="https://sites.google.com/site/lamatrizmate2/archivos/sucesiones.pdf" target="_blank">SUCESIONES</a></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs2o-JrUYsbW2C1IWCh5NtDf3mllGvTFSVjxCmqF5tEZApIx_gycRcOUTFoNYpChMv9_3Kwthf3H76GftrphdpXUCcNBuc4f5CpDaiKelBnUWdFQcMkSNFUr4aQX5QRfY5s89Bewq7GqE/s1600/Etiquetas+3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs2o-JrUYsbW2C1IWCh5NtDf3mllGvTFSVjxCmqF5tEZApIx_gycRcOUTFoNYpChMv9_3Kwthf3H76GftrphdpXUCcNBuc4f5CpDaiKelBnUWdFQcMkSNFUr4aQX5QRfY5s89Bewq7GqE/s1600/Etiquetas+3.jpg" height="213" width="320" /></a></div>
<br />Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-67650533481091935772013-12-29T18:23:00.000-05:002013-12-29T18:23:17.825-05:00¿Los conjuntos Z y N tienen el mismo número de elementos?<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dos de los conjuntos numéricos más estudiados son el conjunto de los números naturales (N) y el de los números enteros (Z), ambos conjuntos infinitos.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">N={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... }</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Z=</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">{ ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Podemos
ver que todos los elementos del conjunto N pertenecen al conjunto Z. Esto es que N está incluido en Z. Sin embargo, aunque N</span><span style="font-family: Symbol; text-align: start;">Ì</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Z, estos dos conjuntos tienen el mismo cardinal (</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">número de elementos)</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">. Podemos asociar cada entero con un único natural estableciendo una
correspondencia uno a uno entre Z y N. Por tanto si a cada número entero le corresponde un número
natural, entonces Z y N tienen el mismo número
de elementos.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">En el siguiente documento describimos con más detalle lo mencionado líneas arriba.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Leer más <a href="https://sites.google.com/site/lamatrizmate2/archivos/cardinal.pdf" target="_blank">AQUÍ</a> </span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-38962872561335982052013-12-12T13:31:00.001-05:002013-12-17T22:13:48.606-05:00El uso del punto y la coma decimal<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Revisando las preguntas liberadas
de la evaluación PISA 2012, evaluación en la que participaron estudiantes
peruanos, encontramos dos en las que se representan de forma distinta valores
numéricos en decimales. No sabemos en qué medida esta diferencia puede haber
confundido a los estudiantes peruanos. Lo que sí sabemos es que no es lo mismo
considerar el número 22.500 como <i>veintidós
mil quinientos</i> que como <i>veintidós
enteros quinientos milésimos</i> (5 décimos). Es evidente que las operaciones
que se hagan con una u otra consideración nos lleva a distintas respuestas. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">En la tabla de la pregunta titulada
¿<i>Qué carro</i>? se muestran números
decimales que representan la capacidad del motor de cada modelo de auto. Así vemos que el
carro Alpha tiene una capacidad de 1.8 litros el cual es un ejemplo del uso del
punto como separador de la parte entera en un número decimal.<o:p></o:p></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9CDKCJFFgxaLZnx-nXP9F9wHN6Zrk1q6SCOlBsWaYykrfMMe6Sfz00t8c6_b6HQqq7GKFJEPTTh6s_u1CfZa1iZiOxFAFYUSfNILI48K73SzYswOov19RKLnvPTdvYY_7q5pghoJBI6g/s1600/fig1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9CDKCJFFgxaLZnx-nXP9F9wHN6Zrk1q6SCOlBsWaYykrfMMe6Sfz00t8c6_b6HQqq7GKFJEPTTh6s_u1CfZa1iZiOxFAFYUSfNILI48K73SzYswOov19RKLnvPTdvYY_7q5pghoJBI6g/s400/fig1.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">En la pregunta titulada </span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Subida al Monte Fuji</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> se muestra un número decimal
que representa la velocidad media de ascenso. Se indica que Toshi puede
ascender caminando a 1,5 kilómetros por hora, el cual es un ejemplo del uso de
la coma como separador de la parte entera en un número decimal. Mientras que en
la siguiente pregunta se utiliza el punto para indicar el número de pasos
contados por el podómetro. Así 22.500 pasos se debe entender como </span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">veintidós mil quinientos</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> pasos. Aquí
vemos el uso del punto como separador de las cifras de los miles.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjk4x-WQ2iNCWnYUJ_ZwGXa4Sho9dTeppgCSNRJMGMbCeQz1YdJJm1IO9IqvyhpBG6arMHdjSb_L0cUMepCwnsGS290mH9hT2ZqMknipWvj7GImiolggobIFfKBYQ-e9qBOUgDpK4T9sXQ/s1600/fig2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjk4x-WQ2iNCWnYUJ_ZwGXa4Sho9dTeppgCSNRJMGMbCeQz1YdJJm1IO9IqvyhpBG6arMHdjSb_L0cUMepCwnsGS290mH9hT2ZqMknipWvj7GImiolggobIFfKBYQ-e9qBOUgDpK4T9sXQ/s400/fig2.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Así como en estas preguntas, en
nuestra vida cotidiana, encontramos ejemplos de diferentes formas de escribir
números decimales. La primera forma, que llamaremos </span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">punto decimal</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">, es cuando se usa el punto en un número decimal para
separar las cifras de la parte entera de las cifras de la parte decimal. La
segunda forma, que llamaremos </span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">coma
decimal</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">, es cuando se usa la coma en un número decimal para separar las
cifras de la parte entera de las cifras de la parte decimal.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Así encontramos en el portal </span><a href="http://elcomercio.pe/" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">http://elcomercio.pe/</a><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> información referida a
la Bolsa de Valores de Lima (BVL) donde vemos usar el punto decimal, m</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">ientras que en la sección economía
del mismo portal encontramos informaciones donde se usa la coma decimal.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMrYk2o8SwVLckum45pfYcyWNAH-hFaL2bB8DzDjkY9e5NwYy6HjmmfkGoxGbPe1joHnbURzOlOVI559oo-bfKBYQvW3ZrcApmNYChdmTHNpu7Kn5VEYTDXlkcr_Q1OObYXwVL1ZzcoqI/s1600/fig3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMrYk2o8SwVLckum45pfYcyWNAH-hFaL2bB8DzDjkY9e5NwYy6HjmmfkGoxGbPe1joHnbURzOlOVI559oo-bfKBYQvW3ZrcApmNYChdmTHNpu7Kn5VEYTDXlkcr_Q1OObYXwVL1ZzcoqI/s400/fig3.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">En nuestro país, fuera del ámbito
de la educación básica, es intensivo el uso del punto decimal. Así en los
recibos de agua, luz y teléfono, estados de cuenta de las tarjetas de crédito y
vouchers de depósitos, entre muchos otros ejemplos, se nos reporta la
información numérica haciendo uso del punto decimal. </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">El uso de la coma es más común
como separador de la cifra de los miles. Un ejemplo lo encontramos en los
valores numéricos que representan los precios de determinados artículos en los
catálogos de ofertas. </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Incluso el uso de la coma y el apóstrofo, para destacar los miles y millones, al promocionar un premio. Por ejemplo en la web del BCP hay un banner que señala “</span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Llévate el s/.1’000,000 que sortea la cuenta premio BCP</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">” y la TINKA anuncia un “</span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">pozo acumulado 11 Dic s/.7’900,000</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">”.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEje3T3_Cna2WFS-sk6rTSY3D6pKQj_xT5R63ldm5U26lxBilbZa3PYLmr4N2z4Fbif9wRcV-_fzqCH3_PkdKmjxgWJyN9Kw6oYyQmRy-Cc34T1SwF3FICfO-BLDl-8uJ5mIMS7TAn-a6u0/s1600/fig5.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEje3T3_Cna2WFS-sk6rTSY3D6pKQj_xT5R63ldm5U26lxBilbZa3PYLmr4N2z4Fbif9wRcV-_fzqCH3_PkdKmjxgWJyN9Kw6oYyQmRy-Cc34T1SwF3FICfO-BLDl-8uJ5mIMS7TAn-a6u0/s400/fig5.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">En sus respectivas webs
instituciones del estado como SUNAT y ONPE presentan información donde usa el
punto decimal y la coma para los miles. SUNAT: "</span><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">La relación del índice de precios al
consumidor (IPC) del mes de noviembre 2013, tomando como base el 2009, es de
112.82", "</i><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">La unidad impositiva tributaria (UIT) del
año 2013 es de 3,700 soles"</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">. </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">En documentos oficiales también podemos notar estos usos. El mostrado es un extracto del proyecto de Ley para la modernización de la refinería de Talara</span><a href="file:///G:/El%20uso%20del%20punto%20y%20la%20coma%20decimal.docx#_ftn1" name="_ftnref1" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;" title=""><span class="MsoFootnoteReference"><span class="MsoFootnoteReference"><span style="font-size: 11pt; line-height: 15.555556297302246px;">[1]</span></span></span></a><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3BI66Ca2K3Z8il75L92WHPu_Sj9XS2Q3_Kk9WBO9v-TwhpBazQ5dNBDdiQGUizOjT23tYuqfaK3wsAMb-_nmA86yBYMlUgKLh1x1O9KxDLyvSX6gSXSfc7E1v39PFM6QtfbISv3Q8jT4/s1600/fig6.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3BI66Ca2K3Z8il75L92WHPu_Sj9XS2Q3_Kk9WBO9v-TwhpBazQ5dNBDdiQGUizOjT23tYuqfaK3wsAMb-_nmA86yBYMlUgKLh1x1O9KxDLyvSX6gSXSfc7E1v39PFM6QtfbISv3Q8jT4/s400/fig6.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Como vemos, en lo
cotidiano, son más los casos en que un ciudadano lee, escribe y/o manipula
números haciendo uso del punto decimal que con la coma decimal. Lo contrario
ocurre en la educación básica donde una revisión de los libros de secundaria muestra
el uso de la coma decimal. Representar números decimales usando la coma decimal
responde a las reglas dadas por el sistema internacional de unidades (SIU) y
que en nuestro país son adoptadas por el INDECOPI. Según el SIU:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 53.25pt; mso-add-space: auto; mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">-<span style="font-size: 7pt;"> </span><i>Se debe separar
la parte entera de la parte decimal mediante una coma. No debe usarse el punto
para separar enteros de decimales.<o:p></o:p></i></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 53.25pt; mso-add-space: auto; mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">-<span style="font-size: 7pt;"> </span><i>Si la
parte entera (o decimal) de los valores numéricos tiene más de cuatro cifras se
recomienda escribirla separando, por un espacio en blanco, grupos de tres
cifras contados a partir de la coma decimal</i>. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Esta última recomendación no
aplica para indicar el año como por ejemplo 2013. Por otro lado la Organización
Internacional de Normalización (ISO) señala el uso de la coma decimal en todos
sus documentos y normas técnicas. Sin embargo estas reglas no son rígidas. Así el
SIU indica que en los casos que los valores numéricos representen alguna
cantidad que podría dar lugar a fraude o estafa se pueden eliminar los espacios
en blanco. Al mismo tiempo las normas ISO
no son obligatorias en países como EEUU donde usan el punto decimal. La gran mayoría
de artículos de investigación que siguen las normas APA (American Psychological
Association) hacen el uso del punto para cantidades expresadas en decimales. En
las pruebas del GMAT (Graduate Management Admission Test) y GRE (Graduate
Record Examination) se escriben los números decimales usando el punto y las
cifras en miles son separadas con comas. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La matemática tiene su propio
lenguaje, por tanto una semántica y sintaxis propia. Nos valemos de símbolos,
signos y reglas para trabajar con los objetos matemáticos. Así como para el
lenguaje común Wittgenstein decía “… ¡<i>No
busquéis su significado</i>! <i>Buscad el
uso</i>” la discusión acerca de representar números con la coma decimal o con
el punto decimal debería tomar en cuenta su uso. Lastimosamente, y una vez más,
encontramos aquí una diferencia entre lo que se enseña en los colegios y lo que
se utiliza en la vida cotidiana. <o:p></o:p></span></div>
<br />
<div>
<!--[if !supportFootnotes]--><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br clear="all" />
</span><br />
<hr align="left" size="1" width="33%" />
<!--[endif]-->
<br />
<div id="ftn1">
<div class="MsoFootnoteText">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="file:///G:/El%20uso%20del%20punto%20y%20la%20coma%20decimal.docx#_ftnref1" name="_ftn1" title=""><span class="MsoFootnoteReference"><span style="font-size: 9.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><!--[if !supportFootnotes]--><span class="MsoFootnoteReference"><span style="font-size: 9pt; line-height: 115%;">[1]</span></span><!--[endif]--></span></span></a><span style="font-size: 9.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> Tomado desde <a href="http://www.rpp.com.pe/2013-12-10-aval-para-modernizar-refineria-de-talara-sera-de-hasta-us$-1-000-millones-noticia_654104.html">http://www.rpp.com.pe/2013-12-10-aval-para-modernizar-refineria-de-talara-sera-de-hasta-us$-1-000-millones-noticia_654104.html</a>
el 11/12/13 a las 11:47 horas.</span></span><o:p></o:p></div>
</div>
</div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-35128165595926993892013-12-06T20:33:00.002-05:002013-12-17T21:38:42.026-05:00Algo más acerca de las pruebas PISA 2012<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La publicación de los resultados
de los estudiantes peruanos en las pruebas PISA<a href="file:///C:/Users/Luis%20Hurtado/Desktop/PISA.docx#_ftn1" name="_ftnref1" title=""><span class="MsoFootnoteReference"><!--[if !supportFootnotes]--><span class="MsoFootnoteReference"><span style="font-size: 11pt; line-height: 115%;">[1]</span></span><!--[endif]--></span></a> 2012
ha provocado diversas reacciones. Políticos, especialistas, periodistas y la
comunidad en general a través de los medios y las redes sociales opinan sobre
un asunto que sin duda es de interés nacional. Y aunque con frecuencia suelen
ser mencionados como uno de los problemas que originan estos resultados pocas
veces se escucha la versión de los docentes. Por ello quiero invitarme al
debate puntualizando algunas cosas acerca de estas pruebas.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></i></div>
<blockquote class="tr_bq">
<i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Los resultados en matemáticas de los estudiantes peruanos en las próximas pruebas PISA difícilmente van a mejorar debido a que nuestro sistema educativo no los prepara para una prueba como esta</i><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">.</span></blockquote>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 35.4pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Las preguntas de las pruebas PISA
miden contenidos matemáticos en situaciones contextualizadas. Se evalúa la
formación matemática. Por lo tanto lo principal es la transferencia de los
conocimientos matemáticos acumulados durante la etapa escolar para resolver
problemas reales que los estudiantes podrían enfrentar en su vida adulta. Basta
una revisión de los libros de matemáticas que usan nuestros estudiantes para
constatar que carecen de preguntas en contexto auténticos. Nuestros estudiantes
no están acostumbrados a resolver el tipo de preguntas que se proponen en las
pruebas PISA. En nuestro país, por lo general, el proceso de admisión a una
universidad requiere rendir un examen. Esta prueba de selección contiene
preguntas objetivas con cinco alternativas de respuesta. La influencia de este
tipo de pruebas lleva a las editoriales, y docentes, optar por este modelo de
preguntas caracterizadas, entre otras cosas, por demandar procesos cognitivos
simples que permita llegar a una respuesta en forma rápida. Nuevamente decimos
que basta con revisar los libros, prácticas o exámenes de nuestros estudiantes
para constatar lo señalado. La gran mayoría de ejercicios se refieren a
preguntas reproductivas centradas en el manejo de algoritmos y aplicación de
fórmulas. Se parte de la idea que con la práctica, resolviendo más y más ejercicios,
se adquiere competencia en matemática. Ciertamente con la práctica consiente se
adquiere destreza en la resolución de ejercicios pero esto no garantiza que el
estudiante adquiera competencia en el sentido que lo considera PISA. Esto es
que sea capaz de usar estos contenidos para resolver situaciones de la vida
cotidiana. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Evaluar es un proceso de valoración
crítica lo que se hace tomando como base la información (acerca del objeto de
evaluación) y los criterios de evaluación (parámetros de referencia). De aquí
que conocidos los patrones de referencia sobre el cuál se hace la valoración en
las pruebas PISA no era difícil predecir los resultados de nuestros estudiantes
en la evaluación del 2012. Es un hecho que los estudiantes peruanos están en la
cola del ranking, pero también es un hecho que ellos no están preparados para
este tipo de prueba. Las pruebas son construidas por un consorcio de
instituciones como ETS (USA), ACER (Australia), IPN (Alemania), NIER (Japón),
entre otras donde no figura ninguna latinoamericana. Siendo PISA un proyecto de
la OCDE, cuyos países miembros no son en su mayoría americanos, los parámetros
de referencia planteados por PISA no tienen que ser necesariamente los
considerados en nuestro país. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">PISA tiene como objetivo evaluar
la formación de los estudiantes al finalizar su etapa escolar. Las pruebas
examinan el grado en que ellos han adquirido los conocimientos y destrezas
necesarias para enfrentar la vida como
adultos. Las respuestas a las preguntas de la prueba permiten medir como los
estudiantes analizan y resuelven problemas, manejan información y enfrentan
situaciones que se les presentarán en su vida y requieren de estas destrezas. Las
matemáticas son y han sido consideradas siempre importantes en la educación. Las
preguntas de las pruebas PISA ayudan a los estudiantes y personas en general a <span class="CitaCar">valorar el papel de las matemáticas como elemento necesario para su
vida actual y futura</span>. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">En matemáticas la prueba PISA
2012 se centró en la medición de la capacidad del estudiante para formular,
emplear e interpretar las matemáticas en una variedad de contextos. Las
preguntas se clasifican según categorías de contenido y de contexto. Las categorías
de contenido son: c<i>antidad, incertidumbre
y datos; cambio y relaciones; espacio y forma.</i> Las categorías de contexto
son: <i>personal; sociedad; ocupacional; científico</i>.
Toda pregunta de la prueba contextualiza un contenido matemático por lo que su
resolución supone la movilización de capacidades matemáticas fundamentales en
las que, según PISA, se basa el rendimiento en matemáticas. Estas capacidades
son <i>comunicación; matematización;
representación; razonamiento y argumento; idear estrategias para resolver
problemas; operaciones y uso del lenguaje simbólico, formal y técnico; uso de
herramientas matemáticas.</i> Un estudiante examinado hace uso de estas
capacidades en distintos grados en cada proceso matemáticos empleado durante la
resolución de una pregunta. En la presentación de informes PISA habla de tres
procesos matemáticos 1) <i>formular</i>: formulación
de situaciones matemáticamente<i>;</i> 2) <i>emplear</i>:<i> </i>empleo de conceptos matemáticos, hechos, procedimientos y
razonamientos; 3) <i>interpretar</i>:<i> </i>interpretación, aplicación y evaluación
de los resultados matemáticos<i>.</i> <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Lo central y que distingue a PISA
es que tiene como objetivo evaluar toda la amplitud del rendimiento del
estudiante de un modo coherente e integrado y no tanto conocimientos
matemáticos específicos. Se enfatiza en la capacidad para plantear y resolver
problemas matemáticos más que para efectuar ciertas operaciones matemáticas o
aplicación de algoritmos. Para ello se proponen situaciones matemáticas en
contextos auténticos. La dificultad de una pregunta está en relación directa a
las capacidades y procesos que se demanden para llegar a la respuesta correcta.
PISA 2012 proporciona una escala general de dificultad de las preguntas
dividida en seis niveles de competencia. Los niveles van del 1 (nivel más bajo)
al 6 (nivel más alto). Un estudiante ubicado en un nivel dado es probable que
pueda completar las preguntas de dicho nivel, pero improbable que complete las
de los niveles superiores. La descripción de los resultados se hace en términos
porcentuales indicando el % de estudiantes del país que están en el nivel de
competencia de la pregunta o por encima de él. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">A continuación analizaremos una
de las preguntas liberadas de la prueba PISA 2012.<o:p></o:p></span></div>
<div>
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div>
<!--[if !supportFootnotes]--><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="https://sites.google.com/site/lamatrizmate2/archivos/pisa.pdf" target="_blank">Leer más</a><br clear="all" />
</span><br />
<hr align="left" size="1" width="33%" />
<!--[endif]-->
<br />
<div id="ftn1">
<div class="MsoFootnoteText">
<a href="file:///C:/Users/Luis%20Hurtado/Desktop/PISA.docx#_ftnref1" name="_ftn1" title=""><span class="MsoFootnoteReference"><!--[if !supportFootnotes]--><span class="MsoFootnoteReference"><span style="font-family: "Bookman Old Style","serif"; font-size: 10.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES-PE; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin;">[1]</span></span><!--[endif]--></span></a><span style="font-size: 9.0pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> Programme for International
Student Assesment</span><o:p></o:p></div>
</div>
</div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-45649444006330724722013-12-04T14:32:00.001-05:002013-12-04T14:32:56.026-05:00Función de Lorenz y coeficiente de desigualdad de Gini<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La función de Lorenz se utiliza
para modelar la distribución de los ingresos en un país y mediante su gráfica, llamada <i>curva de
Lorenz</i>, podemos representar gráficamente la distribución de estos ingresos.</span><b><o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 115%;">Una
medida del grado de desigualdad en la distribución de los ingresos se puede
obtener a partir del </span><i style="font-size: 11pt; line-height: 115%;">índice de Gini</i><span style="font-size: 11pt; line-height: 115%;"> o
</span><i style="font-size: 11pt; line-height: 115%;">coeficiente de desigualdad </i><span style="font-size: 11pt; line-height: 115%;">(IG)</span><span style="font-size: 11pt; line-height: 115%;">. Este </span></span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">es un número
comprendido entre 0 y 1. C</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">uanto menor sea IG</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">, más equitativa es la distribución del ingreso. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJzMLWrvKQWCkx3RQ49SSdvJMEHyMYkbG_KlSHFqpqk63wQGb1zaNy9V81fAjvWSzVIhokjfbVSXg1Ufiw0nD-Wz0NroW5WeKOEeFXLLmYvSzNEjvyGP9wsP1_X4EUqwEWHYxbN7tozhw/s1600/gini.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJzMLWrvKQWCkx3RQ49SSdvJMEHyMYkbG_KlSHFqpqk63wQGb1zaNy9V81fAjvWSzVIhokjfbVSXg1Ufiw0nD-Wz0NroW5WeKOEeFXLLmYvSzNEjvyGP9wsP1_X4EUqwEWHYxbN7tozhw/s320/gini.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><a href="https://sites.google.com/site/lamatrizmate2/archivos/lorenz.pdf" target="_blank">Leer más</a></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<o:p></o:p></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-23296589900801979272013-12-03T12:32:00.001-05:002013-12-03T12:32:08.594-05:00Alfabeto griego<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0jJcVomUQhR7rUuUXGb0FnT6u_AEENtpDggkMko4OvEA1teIlz_mUpUQoNIfWK-rzYoPA6jTKe1eRf2b9JmiZgENhEiZB5-VgR7yw018EnYFJqepULDSEZi7wQvw8d1gpAJvKb7dC7DY/s1600/griego.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0jJcVomUQhR7rUuUXGb0FnT6u_AEENtpDggkMko4OvEA1teIlz_mUpUQoNIfWK-rzYoPA6jTKe1eRf2b9JmiZgENhEiZB5-VgR7yw018EnYFJqepULDSEZi7wQvw8d1gpAJvKb7dC7DY/s400/griego.jpg" width="400" /></a></div>
<br />Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-5563400652315500442013-11-26T18:41:00.002-05:002013-11-26T18:41:57.598-05:00Álgebra de límites<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Sea <i>A</i></span><span style="font-family: Symbol;">Ì</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><i>R</i>, <i>x</i><sub>o</sub>
punto de acumulación de <i>A</i> y <i>f</i>,<i>g</i>:
<i>A</i></span><span style="font-family: Symbol;">®</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><i>R</i> tales que los límites de f y g en </span><o:p></o:p><i style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">x</i><sub style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">o</sub><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> existen, entonces:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVyu1IqgD99tBBZMFdyy33O9wNaAInq91XABVGPFaqjmc-qUGH8vUbM-br_S75EmxlqXmazRD1YWb86bTgXAQiQoiJ1CxXHvFJWW4OmPCR5nH4h9N9siXD0-hTGOnPuHbehaqRZ0k3ltM/s1600/limites.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVyu1IqgD99tBBZMFdyy33O9wNaAInq91XABVGPFaqjmc-qUGH8vUbM-br_S75EmxlqXmazRD1YWb86bTgXAQiQoiJ1CxXHvFJWW4OmPCR5nH4h9N9siXD0-hTGOnPuHbehaqRZ0k3ltM/s320/limites.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Estas reglas del álgebra de límites constituyen una herramienta muy útil al momento de resolver ejercicios de límites de una función. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Compartimos un documento donde se demuestran las reglas anteriores.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="https://sites.google.com/site/lamatrizmate2/archivos/Demostraciones%20%C3%A1lgebra%20de%20l%C3%ADmites.pdf" target="_blank">Límites</a></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-49040797309265303262013-11-24T18:05:00.003-05:002013-11-24T18:12:18.124-05:00Acerca del multiplicador de Lagrange<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Joseph Louis Lagrange (1736-1813) en una carta remit</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">ida a Euler en 1755 dio propuestas para salvar las limitaciones del método (geométrico y analítico-diferencial) </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">propuesto por Euler para resolver problemas difíciles en la época como el de los Isoperímetros. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">El método de </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Lagrange</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> proporciona una condición necesaria para la existencia del extremo (</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">máximo o mínimo) </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">de una función </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">sujeta a una determinada restricción. </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Así por ejemplo dada la función de dos variables f(x,y) sujeta a g(x,y)=c, </span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">si (a,b) es </span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">punto extremo de la función </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Lagrangiana</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"> L(</span><span style="font-family: Symbol;">l</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">,x,y)=</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">f(x,y)+</span><span style="font-family: Symbol;">l</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">[</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">g(x,y)-c] entonces (a,b) es también </span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">punto extremo de la función objetivo </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">f(x,y). </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">La variable </span><span style="font-family: Symbol;">l </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">es llamada multiplicador de Lagrange y al punto extremo (a,b) le corresponde un único </span><span style="font-family: Symbol;">l</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Dada la función Lagrangiana </span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">L(</span><span style="font-family: Symbol;">l</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">,x,y) un punto extremo de L debe cumplir necesariamente la condición de que sus derivadas parciales de primer orden sean nulas. Así al resolver el sistema de ecuaciones </span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">L</span><sub><span style="font-family: Symbol;">l</span></sub><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">(</span><span style="font-family: Symbol;">l</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">,x,y)=0; L<sub>x</sub>(</span><span style="font-family: Symbol;">l</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">,x,y)=0; L<sub>y</sub>(</span><span style="font-family: Symbol;">l</span><span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">,x,y)=0 </span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">obtenemos el punto buscado. La primera de estas condiciones resulta en la propia restricción g(x,y)=c por lo que las componentes del punto extremo dependen de la constante c de la restricción.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">De aquí que si cambia el valor de la constante c de la restricción, entonces cambia el punto extremo y por tanto cambia el valor extremo M (valor máximo o valor mínimo) de la función f. El multiplicador de Lagrange (</span><span style="font-family: Symbol;">l</span><span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">) permite aproximar el cambio del valor extremo de la función objetivo (dM) correspondiente a un cambio de la constante de la restricción (dc).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">En el documento adjunto se explica y demuestra esta relación.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><a href="https://sites.google.com/site/lamatrizmate2/archivos/Lagrange.pdf" target="_blank">Lagrange</a></span></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieDJgskY-4QSWhD_Z-HSI_BsH62zgqbzI6X2DAE0eMCJOtemfkJ4WF62cfpLwcpaL-CL6Zzwl7qAJ9QBkYj7MMS2ECf8_3Qrdr6V2xKBgJf1AnuKiw7fKlKuY-muNJrHU_Tmbq2Tdh8Ug/s1600/lambda.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; font-family: 'Courier New', Courier, monospace; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieDJgskY-4QSWhD_Z-HSI_BsH62zgqbzI6X2DAE0eMCJOtemfkJ4WF62cfpLwcpaL-CL6Zzwl7qAJ9QBkYj7MMS2ECf8_3Qrdr6V2xKBgJf1AnuKiw7fKlKuY-muNJrHU_Tmbq2Tdh8Ug/s200/lambda.jpg" width="200" /></a></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-83347171640359595942012-11-23T18:09:00.000-05:002013-11-26T16:35:02.820-05:00<h3>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 10.0pt; margin-left: 35.4pt; margin-right: 42.55pt; margin-top: 0cm; text-align: justify;">
<span style="font-weight: normal;"><span style="font-size: small;">“<i>Un barco navega por el océano con destino a
Le Havre; transporta un cargamento de lana de 200 toneladas de peso bruto que
ha cargado en Boston, tiene el palo mayor roto, el grumete pasea por el puente,
el barco lleva 12 pasajeros a bordo, el viento sopla Este-Nordeste y son las 3
y cuarto en punto de una tarde del mes de mayo. ¿Cuál es la edad del capitán?</i>” </span></span></div>
</h3>
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><span style="line-height: 150%; text-align: justify;">El enunciado
anterior corresponde a una carta escrita en 1843 por el novelista francés
Gustave Flaubert (1821-1880) - autor de Madame Bovary - en la que pedía a su
hermana Caroline que resolviera dicho problema. No podemos tener certeza de
cual era la intención del novelista pero claramente encontramos un exceso de
palabras con información innecesaria e insuficiente para dar respuesta a esta
pregunta. Se trata de un problema irresoluble. Esta carta fue dada a conocer
por Stella Baruk, profesora e investigadora de la educación matemática, en su
libro </span><i style="line-height: 150%; text-align: justify;">La edad del capitán - el error
matemático</i><span style="line-height: 150%; text-align: justify;"> (1985). Baruk dirigió el instituto de investigación de la
enseñanza de la matemática (IREM) y los resultados de sus investigaciones a
partir de las respuestas dadas por una muestra amplia de estudiantes examinados
a problemas irresolubles como “</span><i style="line-height: 150%; text-align: justify;">Hay 26
ovejas y 10 cabras en un barco. ¿Cuántos años tiene el capitán?</i><span style="line-height: 150%; text-align: justify;">” arrojaron
una conducta tan irracional como sumar el número de ovejas y cabras para hallar
la edad de una persona. En su tesis doctoral Jiménez (2008)</span><a href="file:///C:/Users/Principal/Documents/Art%C3%ADculos/La%20edad%20del%20capit%C3%A1n.docx#_ftn1" name="_ftnref1" style="line-height: 150%; text-align: justify;" title=""><span class="MsoFootnoteReference"><span class="MsoFootnoteReference"><span style="line-height: 115%;">[1]</span></span></span></a><span style="line-height: 150%; text-align: justify;"> señala
otros problemas en estudios similares realizados por Raddatz (1983) “</span><i style="line-height: 150%; text-align: justify;">Katja invita a 8 niños a su fiesta de
cumpleaños que será dentro de 4 días.
¿Cuántos años cumplirá Katja?</i><span style="line-height: 150%; text-align: justify;">” y Reusser (1988) “</span><i style="line-height: 150%; text-align: justify;">Hay 125 ovejas y 5 perros en un rebaño. ¿Cuántos años tiene el pastor?</i><span style="line-height: 150%; text-align: justify;">”</span></span><br />
<a name='more'></a><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: 'Trebuchet MS', sans-serif; line-height: 150%;">Jiménez refiere que
los resultados obtenidos por estos estudios con niños del 1° al 5° confirmaron
parcialmente los encontrados por el estudio del IREM. Raddatz encontró que el
porcentaje de errores era mayor cuanto mayor era el grado de escolaridad por lo
que una de sus conclusiones fue la “decisiva influencia que tenía la cantidad
de enseñanza formal recibida en la concepción de que la aritmética es un tipo
de juego regido por reglas artificiales y sin conexión alguna con la realidad”
(,). A su vez Reusser concluyó que el fracaso se debía al aprendizaje de que
los problemas escolares de matemáticas no tienen necesariamente que tener
sentido. Así, todos los problemas deben solucionarse numéricamente y lo más
frecuente es que haya que hacerlo utilizando todos los números y aplicando la
última operación aritmética que se haya aprendido.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">La primera vez
que supe de los resultados de estos estudios me llamó mucho la atención. Años
después encontré una explicación en la teoría de las situaciones didácticas de
Brousseau para quien existen interrelaciones sociales entre los docentes y los
estudiantes que condicionan lo que estos aprenden y la forma como lo hacen.
Brousseau llama situación didáctica al conjunto de estas interrelaciones. Se establecen responsabilidades entre el
docente y el estudiante. El primero debe aceptar la responsabilidad de los
resultados y asegurar al segundo los medios efectivos para la adquisición del
conocimiento matemático. El segundo debe aceptar la responsabilidad de resolver
los problemas planteados por el primero, a pesar que no se le haya enseñado la solución.
A este sistema de obligaciones recíprocas se le denomina contrato didáctico.
Este contrato, con componentes explícitos aunque en su mayoría implícitos,
define las reglas de funcionamiento dentro de la situación. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">Si el docente no
ha trabajado en las sesiones de clase este tipo de problemas irresolubles y
cada problema que propuso siempre tuvo solución, es bastante probable que los
niños esperen que este problema también lo tenga. Y, si como es costumbre, se
llega a la solución utilizando los datos numéricos y las operaciones
aritméticas estudiadas, es de esperar que los niños operen con estos números
para encontrar la respuesta. Así por ejemplo, para el caso de la pregunta del
pastor: “<i>Hay 125 ovejas y 5 perros en un
rebaño. ¿Cuántos años tiene el pastor?</i>”, más allá de su significado tenemos
dos datos numéricos 125 y 5 para los cuales resulta:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-right: -42.55pt; text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">125 + 5 = 130; 125
- 5 = 120; 125 ´ 5 =
625; 125 ¸ 5 = 25<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;">De estos
resultados el único que parece ser un número razonable para la edad de un pastor
es 25, por lo que para muchos niños la respuesta fue “<i>el pastor tiene 25 años</i>”. <o:p></o:p></span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<!--[if !supportFootnotes]--><span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif;"><br clear="all" />
</span></div>
<hr size="1" style="text-align: left;" width="33%" />
<!--[endif]-->
<br />
<div id="ftn1">
<div class="MsoFootnoteText" style="margin-right: -42.55pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif; font-size: xx-small;"><a href="file:///C:/Users/Principal/Documents/Art%C3%ADculos/La%20edad%20del%20capit%C3%A1n.docx#_ftnref1" name="_ftn1" title=""><span class="MsoFootnoteReference"><!--[if !supportFootnotes]--><span class="MsoFootnoteReference"><span style="line-height: 115%;">[1]</span></span><!--[endif]--></span></a> La activación del
conocimiento real en la resolución de problemas. Un estudio evolutivo sobre los
problemas no-rutinarios de adición.</span> <o:p></o:p></div>
</div>
</div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-86099682054511893232012-08-19T10:12:00.004-05:002012-08-19T10:13:56.653-05:00Modelo de Rasch<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;">Comparto la publicación del libro "Análisis de pruebas de rendimiento usando el modelo de Rasch" por la Editorial Académica Española.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><a href="https://www.morebooks.de/store/es/book/an%C3%A1lisis-de-pruebas-de-rendimiento-usando-el-modelo-de-rasch/isbn/978-3-659-03973-7">https://www.morebooks.de/store/es/book/an%C3%A1lisis-de-pruebas-de-rendimiento-usando-el-modelo-de-rasch/isbn/978-3-659-03973-7</a>
</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFeLAd6Hg3L3ji09mCY-3zXTwtetfPnWmZSKXJW18ChVfL4ryielOgQEjKrQy-T2ehI-SUTiQ9wE18f8tnGo6Eq4F_Ou_Bjoc8U6MY71oadA8QjAvC2LMH-QE-CtJOR90m2dGNtyIdYnA/s1600/Libro.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="290" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFeLAd6Hg3L3ji09mCY-3zXTwtetfPnWmZSKXJW18ChVfL4ryielOgQEjKrQy-T2ehI-SUTiQ9wE18f8tnGo6Eq4F_Ou_Bjoc8U6MY71oadA8QjAvC2LMH-QE-CtJOR90m2dGNtyIdYnA/s400/Libro.jpg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace;"><br /></span></div>
Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4195362973026698076.post-45007330425158450402012-06-29T19:22:00.002-05:002012-06-29T19:26:57.931-05:00Matemática II UP - Seminario PC4<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Se comparten algunos documentos complementarios para su preparación para la PC 4.</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Mucha suerte!!!</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="https://sites.google.com/site/ciclo20100/archivos-1/impropias.pdf" target="_blank">Integrales Impropias</a> </span><br />
<a href="https://sites.google.com/site/ciclo20100/archivos-1/areas.pdf" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" target="_blank">Áreas de regiones entre curvas</a><br />
<a href="https://sites.google.com/site/ciclo20100/archivos-1/nivel.pdf" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" target="_blank">Curvas de nivel</a><br />
<a href="https://sites.google.com/site/ciclo20100/archivos-1/soluc1.pdf" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" target="_blank">Solucionario PC4 2011-I</a><br />
<a href="https://sites.google.com/site/ciclo20100/archivos-1/soluc2.pdf" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" target="_blank">Solucionario PC4 2011-II</a><br />
<a href="https://sites.google.com/site/ciclo20100/archivos-1/soluc3.pdf" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" target="_blank">Solucionario PC4 2012-0</a><br />
<a href="https://347aff22-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/ciclo2009ii/archivos/demostracioneuler.pdf?attachauth=ANoY7coHNgREDtxQ_yijN2bg4VpLYDE3oiHXf43OuHSP2A0mAPBYakNuw8xeW9ja2d7JNe3Ld9kI5pfA_Hj2HFzs2mc0MugjcfJx05Td98vpSy7EnbQPnQNkfjygVvPt2PpS6Sa3ni8DSSbo_i3MnckDa_q4vQmEjrBZGzzcWJEj4Wj-k1Hb7KerMrNU4xPT6UsRSZS5B4UfBNNsXkHxNXlOQPDvn7_HxKJomXLBQT2FVxxR1U_3ARk%3D&attredirects=0" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" target="_blank">Funciones Homogéneas</a><span style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> (Demostración del teorema de Euler)</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span>Luchohttp://www.blogger.com/profile/18137769179506472255noreply@blogger.com4